NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 137

Dziedzinę każdego wyrażenia wyznaczamy przed wykonaniem działań. Następnie sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

a) Mianowniki nie mogą zerować się dla $x=-2$ ani dla $x=3$, więc $D=\mathbb R\setminus\{-2,3\}$. Mamy

$$\frac3{x+2}+\frac4{x-3} =\frac{3(x-3)+4(x+2)}{(x+2)(x-3)} =\frac{7x-1}{(x+2)(x-3)}.$$

b) Tutaj $D=\mathbb R\setminus\{1,4\}$ oraz

$$\frac2{x-4}-\frac3{x-1} =\frac{2(x-1)-3(x-4)}{(x-4)(x-1)} =\frac{10-x}{(x-4)(x-1)}.$$

c) Wykluczamy $x=-1$ i $x=1$. Dla pozostałych $x$:

$$\begin{aligned} \frac{3x-6}{x-1}+\frac{6x-1}{2x+2} &=\frac{2(3x-6)(x+1)+(6x-1)(x-1)}{2(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{12x^2-13x-11}{2(x^2-1)}. \end{aligned}$$

d) Dziedzina to $D=\mathbb R\setminus\{0,2\}$. Otrzymujemy

$$\begin{aligned} \frac{3x-1}{x}-\frac{x-7}{2x-4} &=\frac{2(3x-1)(x-2)-x(x-7)}{2x(x-2)}\\ &=\frac{5x^2-7x+4}{2x(x-2)}. \end{aligned}$$

e) Mamy $D=\mathbb R\setminus\left\{-5,\frac13\right\}$ i

$$\begin{aligned} \frac{x}{x+5}+\frac{2-3x}{3x-1} &=\frac{x(3x-1)+(2-3x)(x+5)}{(x+5)(3x-1)}\\ &=\frac{10-14x}{(x+5)(3x-1)}. \end{aligned}$$

f) Wykluczamy $x=-6$ i $x=6$. Ponieważ wspólnym mianownikiem jest $(6-x)(x+6)=36-x^2$, dostajemy

$$\begin{aligned} \frac{2x+1}{6-x}-\frac{3-2x}{x+6} &=\frac{(2x+1)(x+6)-(3-2x)(6-x)}{36-x^2}\\ &=\frac{28x-12}{36-x^2}. \end{aligned}$$

a) Z rozkładu $x^2-1=(x-1)(x+1)$ wynika $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Zatem

$$\begin{aligned} \frac{x-6}{x-1}+\frac{2x-6}{x^2-1} &=\frac{(x-6)(x+1)+2x-6}{(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{x^2-3x-12}{x^2-1}. \end{aligned}$$

b) Dla $x\ne-2,2$:

$$\frac{4x}{(x-2)(x+2)}-\frac4{x+2} =\frac{4x-4(x-2)}{(x-2)(x+2)} =\frac8{x^2-4}.$$

c) Jedynym wyłączeniem jest $x=1$. Sprowadzamy ułamki do mianownika $(x-1)^2$:

$$\frac{3x}{x-1}+\frac{1-3x^2}{(x-1)^2} =\frac{3x(x-1)+1-3x^2}{(x-1)^2} =\frac{1-3x}{(x-1)^2}.$$

d) Mianowniki zerują się dla $x=-2$, więc $D=\mathbb R\setminus\{-2\}$. Dalej

$$\begin{aligned} \frac{2-x}{x+2}-\frac{x^2+3x+4}{(x+2)^2} &=\frac{(2-x)(x+2)-(x^2+3x+4)}{(x+2)^2}\\ &=\frac{-2x^2-3x}{(x+2)^2}. \end{aligned}$$

e) Pierwotne mianowniki wykluczają $x=0$ i $x=-1$.

$$\begin{aligned} \frac{x+2}{x^2}-\frac{x+3}{x(x+1)} &=\frac{(x+2)(x+1)-x(x+3)}{x^2(x+1)}\\ &=\frac2{x^2(x+1)}. \end{aligned}$$

f) Mamy $D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}$. Wspólny mianownik to $x(x-1)(x+1)$, zatem

$$\begin{aligned} \frac{x-1}{x(x+1)}+\frac{x+1}{x(x-1)} &=\frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{2(x^2+1)}{x(x^2-1)}. \end{aligned}$$

a) Wszystkie mianowniki są określone dokładnie wtedy, gdy $x\ne-2,2$. Dla takich $x$:

$$\begin{aligned} &\frac3{x-2}+\frac{x+1}{x+2}-\frac{x^2+4}{x^2-4}\\ &\quad=\frac{3(x+2)+(x+1)(x-2)-(x^2+4)}{(x-2)(x+2)} =\frac{2x}{x^2-4}. \end{aligned}$$

b) Ponieważ $x^2+6x=x(x+6)$, mamy $D=\mathbb R\setminus\{-6,0\}$. Zauważmy też, że $-(1-x)=x-1$. Stąd

$$\begin{aligned} &\frac4{x(x+6)}-\frac{1-x}{2x}+\frac{x-1}{x+6}\\ &\quad=\frac{8+(x-1)(x+6)+2x(x-1)}{2x(x+6)} =\frac{3x^2+3x+2}{2x(x+6)}. \end{aligned}$$

c) Wykluczamy $x=-\frac32$ i $x=\frac32$. Ponieważ $3-2x=-(2x-3)$, trzeci składnik można zapisać jako $\frac6{2x-3}$. Zatem

$$\begin{aligned} &\frac{x^2}{(2x-3)(2x+3)}+\frac{2-x}{2x-3} +\frac6{2x-3}\\ &\quad=\frac{x^2+(2-x)(2x+3)+6(2x+3)}{4x^2-9} =\frac{-x^2+13x+24}{4x^2-9}. \end{aligned}$$

d) Mamy $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$, więc $D=\mathbb R\setminus\left\{\frac13\right\}$. Sprowadzamy wszystko do mianownika $(3x-1)^2$:

$$\begin{aligned} &\frac{2x^2-7}{(3x-1)^2}-\frac{2-3x^2}{3x-1}-x\\ &\quad=\frac{2x^2-7-(2-3x^2)(3x-1)-x(3x-1)^2} {(3x-1)^2}\\ &\quad=\frac{5x^2-7x-5}{(3x-1)^2}. \end{aligned}$$

a) Ponieważ $x^2-6x+9=(x-3)^2$ i $2x-6=2(x-3)$, dziedziną jest $D=\mathbb R\setminus\{3\}$. Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika:

$$\begin{aligned} &\frac{x^2+x-3}{(x-3)^2}-\frac{x+2}{2(x-3)}-1\\ &\quad=\frac{2(x^2+x-3)-(x+2)(x-3)-2(x-3)^2} {2(x-3)^2}\\ &\quad=\frac{-x^2+15x-18}{2(x-3)^2}. \end{aligned}$$

Dla $x=-3$ otrzymujemy

$$\frac{-9-45-18}{2(-6)^2}=\frac{-72}{72}=-1.$$

b) Pierwotne mianowniki wykluczają $x=-4$ i $x=4$. Korzystamy z $4-x=-(x-4)$ oraz $2x+8=2(x+4)$:

$$\begin{aligned} &\frac{-3x-3}{(x-4)(x+4)}-\frac{x+1}{4-x} +\frac{5-x}{2(x+4)}\\ &\quad=\frac{2(-3x-3)+2(x+1)(x+4)+(5-x)(x-4)} {2(x-4)(x+4)}\\ &\quad=\frac{x^2+13x-18}{2(x^2-16)}. \end{aligned}$$

Po podstawieniu $x=-3$:

$$\frac{9-39-18}{2(9-16)}=\frac{-48}{-14}=\frac{24}{7}.$$

Wyznaczamy najpierw $R_2$. Przenosimy składnik z $R_1$ na drugą stronę:

$$\frac1{R_2}=\frac1{R_c}-\frac1{R_1} =\frac{R_1-R_c}{R_cR_1}.$$

Po odwróceniu obu stron dostajemy

$$R_2=\frac{R_cR_1}{R_1-R_c}.$$

Aby wyznaczyć $R_c$, dodajemy ułamki po prawej stronie wzoru:

$$\frac1{R_c}=\frac{R_2+R_1}{R_1R_2}.$$

Stąd

$$R_c=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.$$

W zastosowaniu fizycznym opory są dodatnie, więc występujące mianowniki są niezerowe. Algebraicznie należy dodatkowo założyć $R_1\ne R_c$ przy pierwszym wzorze oraz $R_1+R_2\ne0$ przy drugim.

W każdym podpunkcie wykonujemy działania odwrotne po obu stronach równania.

a)

$$P-\pi r^2=\pi rl \quad\Longrightarrow\quad l=\frac{P-\pi r^2}{\pi r}.$$

b)

$$2P=(a+b)h \quad\Longrightarrow\quad \frac{2P}{h}=a+b \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{2P}{h}-a.$$

c)

$$3V=\pi r^2h \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{3V}{\pi r^2}.$$

d)

$$r^3=\frac{3V}{4\pi} \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}.$$

e)

$$m\omega^2R=mg-F \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{mg-F}{m\omega^2}.$$

f) Wyłączamy $m$ przed nawias:

$$F=m(g-\omega^2R) \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{F}{g-\omega^2R}.$$

g)

$$W=GMm\frac{R-r}{rR} \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{WrR}{GM(R-r)}.$$

h) Zaczynamy od podzielenia obu stron przez $GMm$:

$$\frac{W}{GMm}=\frac1r-\frac1R.$$

Zatem

$$\frac1r=\frac{W}{GMm}+\frac1R =\frac{WR+GMm}{GMmR},$$

czyli

$$r=\frac{RGMm}{WR+GMm}.$$

Przekształcenia obowiązują przy niezerowych dzielnikach występujących w odpowiednich wzorach; w ich standardowej interpretacji geometrycznej i fizycznej wielkości długości, masy i stałe są dodatnie.