NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 136

W każdym podpunkcie dziedzinę wyznaczamy z mianowników przed wykonaniem działań.

a) Mianowniki wykluczają $x=-4,0,4$. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $x(x-4)(x+4)$:

$$\begin{aligned} \frac{3-x}{x(x+4)}-\frac{3+x}{x(x-4)} &=\frac{(3-x)(x-4)-(3+x)(x+4)}{x(x-4)(x+4)}\\ &=-\frac{2(x^2+12)}{x(x^2-16)}. \end{aligned}$$

b) Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Mamy

$$\begin{aligned} \frac{x+3}{(x-1)^2}-\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} &=\frac{(x+3)(x+1)-(x-3)(x-1)}{(x-1)^2(x+1)}\\ &=\frac{8x}{(x-1)^2(x+1)}. \end{aligned}$$

c) Wykluczamy $x=0,3$:

$$\frac2x-\frac4{x-3}+\frac{2x-1}{x(x-3)} =\frac{2(x-3)-4x+2x-1}{x(x-3)} =-\frac7{x(x-3)}.$$

d) Pierwotne mianowniki wykluczają $x=-5,0,5$. Dla pozostałych argumentów:

$$\begin{aligned} &\frac{x+1}{(x-5)(x+5)}- \frac{x+1}{x(x-5)}+ \frac{x-1}{x(x+5)}\\ &\quad=\frac{x(x+1)-(x+1)(x+5)+(x-1)(x-5)}{x(x-5)(x+5)}\\ &\quad=\frac{x(x-11)}{x(x-5)(x+5)} =\frac{x-11}{x^2-25}. \end{aligned}$$

Wykluczenie $x=0$ pozostaje mimo skrócenia.

e) Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. Po sprowadzeniu do $x(x-1)^2$ otrzymujemy

$$\begin{aligned} &\frac{x(2x-4)-(x+2)(x-1)^2+x(x+1)(x-1)}{x(x-1)^2}\\ &\quad=\frac{2x^2-2x-2}{x(x-1)^2} =\frac{2(x^2-x-1)}{x(x-1)^2}. \end{aligned}$$

f) Mianowniki wykluczają $x=-\frac12,0,\frac12$. Wspólny mianownik to $x(2x-1)(2x+1)$:

$$\begin{aligned} &\frac{x(6x-1)+(3-2x)(2x+1)-x(2x-1)}{x(2x-1)(2x+1)}\\ &\quad=\frac{4x+3}{x(4x^2-1)}. \end{aligned}$$

W każdym podpunkcie bierzemy dowolne $x_1<x_2$ z podanego przedziału i badamy znak różnicy $f(x_2)-f(x_1)$.

a) Przekształcamy

$$f(x)=\frac{x-5}{x+2}=1-\frac7{x+2}.$$

Dla $-2<x_1<x_2$ oba czynniki $x_1+2$, $x_2+2$ są dodatnie, więc

$$f(x_2)-f(x_1) =\frac{7(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}>0.$$

Funkcja jest rosnąca w $(-2;\infty)$.

b) Mamy

$$f(x)=\frac{x+3}{x-4}=1+\frac7{x-4}.$$

Dla $x_1<x_2<4$ iloczyn $(x_1-4)(x_2-4)$ jest dodatni, a

$$f(x_2)-f(x_1) =\frac{7(x_1-x_2)}{(x_1-4)(x_2-4)}<0.$$

Funkcja jest malejąca w $(-\infty;4)$.

c) Przekształcamy

$$f(x)=\frac{2x+5}{x+1}=2+\frac3{x+1}.$$

Dla $x_1<x_2<-1$ mianowniki są ujemne, zatem ich iloczyn jest dodatni i

$$f(x_2)-f(x_1) =\frac{3(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}<0.$$

Funkcja jest malejąca w $(-\infty;-1)$.

d) Mamy

$$f(x)=\frac{-3x-7}{x-5}=-3-\frac{22}{x-5}.$$

Dla $x_1<x_2<5$ iloczyn mianowników jest dodatni, a

$$f(x_2)-f(x_1) =\frac{22(x_2-x_1)}{(x_1-5)(x_2-5)}>0.$$

Funkcja jest rosnąca w $(-\infty;5)$.