NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 135 — rozwiązania zadań

Ćwiczenie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzinę wyznaczamy z mianowników wyjściowych, a następnie sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

a) Dla $x\neq-3,3$ :

\frac2{x-3}+\frac4{x+3} =\frac{2(x+3)+4(x-3)}{x^2-9} =\frac{6(x-1)}{x^2-9}.

b) Dla $x\neq-2,0$ :

\frac{x-5}{x}+\frac{x}{x+2} =\frac{(x-5)(x+2)+x^2}{x(x+2)} =\frac{2x^2-3x-10}{x(x+2)}.

c) Dla $x\neq-4,1$ :

\frac{x+3}{x+4}+\frac{x-4}{x-1} =\frac{(x+3)(x-1)+(x-4)(x+4)}{(x+4)(x-1)} =\frac{2x^2+2x-19}{(x+4)(x-1)}.

d) Dla $x\neq-3,3$ :

\frac{x+6}{x^2-9}+\frac{x-2}{x+3} =\frac{x+6+(x-2)(x-3)}{x^2-9} =\frac{x^2-4x+12}{x^2-9}.

e) Pierwotne mianowniki wykluczają $x=-1,0,1$ . Mamy

\frac2{x(x+1)}+\frac2{x(x-1)} =\frac{2(x-1)+2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} =\frac4{x^2-1}.

f) Dla $x\neq-1,1$ :

\frac1{(x-1)(x+1)}+\frac1{(x+1)^2} =\frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)^2} =\frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}.

Odpowiedź

a) $\frac{6(x-1)}{x^2-9}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ ;
b) $\frac{2x^2-3x-10}{x(x+2)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-2,0\}$ ;
c) $\frac{2x^2+2x-19}{(x+4)(x-1)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-4,1\}$ ;
d) $\frac{x^2-4x+12}{x^2-9}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ ;
e) $\frac4{x^2-1}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}$ ;
f) $\frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zachowujemy wykluczenia z mianowników podanych w treści i sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika.

a) Dla $x\neq-3,0$ :

\frac2x-\frac2{x+3} =\frac{2(x+3)-2x}{x(x+3)} =\frac6{x(x+3)}.

b) Dla $x\neq2$ :

\frac6{x-2}-3 =\frac{6-3(x-2)}{x-2} =\frac{12-3x}{x-2}.

c) Dla $x\neq-4,-1$ :

\frac{x-1}{x+4}-\frac{x}{x+1} =\frac{(x-1)(x+1)-x(x+4)}{(x+4)(x+1)} =-\frac{4x+1}{(x+4)(x+1)}.

d) Dla $x\neq-2,4$ :

\frac{-4x}{x-4}-\frac{2x}{x+2} =\frac{-4x(x+2)-2x(x-4)}{(x-4)(x+2)} =-\frac{6x^2}{(x-4)(x+2)}.

e) Dla $x\neq-4,4$ :

\begin{aligned} \frac8{x^2-16}-\frac{x+4}{x-4}+1 &=\frac{8-(x+4)^2+(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)}\\ &=-\frac{8(x+3)}{x^2-16}. \end{aligned}

f) Dla $x\neq-1,0$ :

\begin{aligned} \frac{3x}{x+1}-\frac{x+2}{x}-2 &=\frac{3x^2-(x+2)(x+1)-2x(x+1)}{x(x+1)}\\ &=-\frac{5x+2}{x(x+1)}. \end{aligned}

Odpowiedź

a) $\frac6{x(x+3)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-3,0\}$ ;
b) $\frac{12-3x}{x-2}$ , $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ ;
c) $-\frac{4x+1}{(x+4)(x+1)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-4,-1\}$ ;
d) $-\frac{6x^2}{(x-4)(x+2)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-2,4\}$ ;
e) $-\frac{8(x+3)}{x^2-16}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-4,4\}$ ;
f) $-\frac{5x+2}{x(x+1)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Wszystkie mianowniki wykluczają $x=-2$ . Sprowadzamy wyrażenia do mianownika $2(x+2)$ :

\begin{aligned} f(x) &=\frac{7x+7+3x+5}{2(x+2)}-\frac{4x}{2(x+2)}\\ &=\frac{6x+12}{2(x+2)}=3, \qquad x\neq-2. \end{aligned}

Jest to funkcja stała z jednym argumentem wyłączonym z dziedziny, a więc nie jest funkcją homograficzną.

b) Tutaj $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ . Ponieważ $6-3x=-3(x-2)$ i $3x-6=3(x-2)$ ,

\begin{aligned} f(x) &=-\frac{x}{3(x-2)}-\frac3{x-2}+\frac{4x}{3(x-2)}\\ &=\frac{-x-9+4x}{3(x-2)} =\frac{x-3}{x-2}=1-\frac1{x-2}. \end{aligned}

Ostatnia postać jest postacią kanoniczną funkcji homograficznej.

Odpowiedź

a) Nie; $f(x)=3$ dla $x\neq-2$ .
b) Tak; $f(x)=\frac{x-3}{x-2}=1-\frac1{x-2}$ dla $x\neq2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem