NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 134

Przed odwróceniem dzielnika zapisujemy zera wszystkich mianowników oraz zera licznika dzielnika.

a) Wykluczamy $x=0$ i $x=1$. Wtedy

$$\frac{3(x-1)}{4x}:\frac{x-1}{6x} =\frac{3(x-1)}{4x}\cdot\frac{6x}{x-1}=\frac92.$$

b) Wykluczamy $x=3$ z pierwszego mianownika, $x=-2$ z drugiego oraz $x=3$ jako zero dzielnika. Zatem

$$\frac{2(x+2)}{x-3}:\frac{-(x-3)}{x+2} =-\frac{2(x+2)^2}{(x-3)^2}.$$

c) Z mianowników i zera dzielnika dostajemy $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac15,0\right\}$. Dalej

$$\frac{2(5x+1)}{x^2}:\frac{5x+1}{x}=\frac2x.$$

d) Wykluczamy $x=1$ oraz zero dzielnika $x=\frac32$:

$$\frac{-2(2x-3)}{(x-1)^2}:\frac{2x-3}{x-1} =-\frac2{x-1}.$$

e) Wykluczamy $x=\frac13$ z mianowników i $x=0$ jako zero dzielnika. Ponieważ $1-3x=-(3x-1)$,

$$\frac{x^3}{2(3x-1)}:\frac{2x}{1-3x}=-\frac{x^2}{4}.$$

f) Mianowniki wykluczają $x=-2,2$, a licznik dzielnika dodatkowo $x=-1,1$. Otrzymujemy

$$\frac{x+1}{(x+2)^2}: \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} =\frac{x-2}{(x+2)(x-1)}.$$

Dziedzinę ułamka piętrowego wyznaczają mianowniki obu jego części oraz warunek, że cały dolny ułamek nie może być zerem.

a) Wykluczamy $x=3$ i $x=-3$ z mianowników oraz $x=-1$ jako zero dolnego licznika. Dla pozostałych $x$:

$$\frac{\frac{(x+1)^2}{x-3}} {\frac{x+1}{(x-3)(x+3)}} =\frac{(x+1)^2}{x-3}\cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x+1} =(x+1)(x+3).$$

b) Z mianowników otrzymujemy $x\neq\frac32,0$, a dolny ułamek jest zerem dla $x=-4$ lub $x=4$. Rozkładamy wszystkie czynniki:

$$\frac{\frac{(x+4)^2}{3(2x-3)}} {\frac{x(x-4)(x+4)}{2x(3-2x)}} =-\frac{2(x+4)}{3(x-4)}.$$

c) Mianowniki wykluczają $x=-2,2$, a dolny licznik zeruje się dla $x=\frac12$. Zatem

$$\frac{\frac{(2x-1)(2x+1)}{(x+2)^2}} {\frac{(2x-1)^2}{(x-2)(x+2)}} =\frac{(2x+1)(x-2)}{(x+2)(2x-1)}.$$

Najpierw wyznaczamy dziedzinę ułamka piętrowego, a dopiero potem skracamy. Usunięte z dziedziny argumenty zaznaczamy na wykresie pustymi punktami.

a) Oba ułamki wymagają $x\neq0$, a dolny ułamek nigdy nie jest zerem:

$$f(x)=\frac{-2/x}{1/x}=-2,\qquad D=\mathbb R\setminus\{0\}.$$

Wykres to prosta $y=-2$ bez punktu $(0,-2)$.

b) Analogicznie

$$f(x)=2,\qquad D=\mathbb R\setminus\{1\}.$$

Rysujemy prostą $y=2$ bez punktu $(1,2)$.

c) Górny i dolny ułamek wymagają $x\neq0$, a dolny jest zerem dla $x=2$. Stąd

$$f(x)=3,\qquad D=\mathbb R\setminus\{0,2\}.$$

Na prostej $y=3$ usuwamy punkty $(0,3)$ i $(2,3)$.

d) Wykluczamy $x=-2$:

$$f(x)=\frac{4x}{x+2}:\frac2{x+2}=2x.$$

Jest to prosta $y=2x$ bez punktu $(-2,-4)$.

e) Górny ułamek wymaga $x\neq1$, dolny $x\neq0$:

$$f(x)=\frac{x(x-1)}{x-1}:\frac1x=x^2, \qquad D=\mathbb R\setminus\{0,1\}.$$

Rysujemy parabolę $y=x^2$ bez punktów $(0,0)$ i $(1,1)$.

f) Wykluczamy $x=0$ i otrzymujemy

$$f(x)=\frac{2(x-4)}x:\frac2{x^2}=x(x-4)=(x-2)^2-4.$$

Wykres to parabola o wierzchołku $(2,-4)$, bez punktu $(0,0)$.

Niech $b$ oznacza długość drugiego boku. Pole prostokąta spełnia $P=a\cdot b$, więc

$$b=P:a =\frac6{x^2-4}:\frac2{x-2}.$$

Ponieważ $x>2$, wszystkie występujące długości są dodatnie, a mianowniki niezerowe. Rozkładamy $x^2-4=(x-2)(x+2)$:

$$b=\frac6{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{2} =\frac3{x+2}.$$

Korzystamy z zależności $P=ab$.

W pierwszym wierszu mnożymy boki:

$$P=\frac{x+1}{x^2+1}\cdot\frac1{x+1} =\frac1{x^2+1}.$$

W drugim wierszu obliczamy $a=P:b$:

$$a=\frac{3(x+2)}{x^2+4}:\frac{x+2}{2} =\frac6{x^2+4}.$$

W trzecim wierszu obliczamy $b=P:a$:

$$b=\frac{4(x^2+2)}{(x-3)(x+3)}:\frac4{x-3} =\frac{x^2+2}{x+3}.$$

Podane nierówności $x>-1$, $x>-2$ i $x>3$ zapewniają dodatniość odpowiednich długości oraz wykluczają skracane zera.

Dziedziny zapisujemy przed skróceniem czynników.

a) Z mianowników wykluczamy $x=-2,2,0,-3$. Następnie

$$\frac{(x+3)^2}{2(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x^2(x-2)}{x(x+3)} =\frac{x(x+3)}{2(x+2)}.$$

b) Wykluczamy $x=-1,-4$. Ponieważ $1-x^2=-(x-1)(x+1)$,

$$\frac{(x-4)(x+4)}{x+1}\cdot \frac{-(x-1)(x+1)}{x+4} =-(x-1)(x-4).$$

c) Wykluczamy $x=-1$ z pierwszego mianownika oraz $x=-1,1$ z drugiego. Korzystamy z $x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$:

$$\frac{(x+1)^3}{(x+1)^2}\cdot \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} =\frac{x+2}{x-1}.$$

Rozkładamy sumy i różnice potęg, pamiętając o założeniach wynikających z pierwotnych mianowników.

a) Zakładamy $x\neq y$ i $x\neq-y$. Wtedy

$$\frac{(x+y)^3(x-y)}{(x+y)^2}\cdot \frac{x(x^2+y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}=x.$$

b) Zakładamy

$$2x+y\neq0,\qquad 3x-y\neq0,\qquad 3x+y\neq0.$$

Korzystając z $8x^2+4xy=4x(2x+y)$ oraz $9x^2-y^2=(3x-y)(3x+y)$, otrzymujemy

$$\frac{3x+y}{2x+y}\cdot \frac{4x(2x+y)}{(3x-y)(3x+y)} =\frac{4x}{3x-y}.$$

c) Zakładamy $2x+y\neq0$. To założenie wyklucza także $(x,y)=(0,0)$, więc $x^2+y^2\neq0$. Ponieważ

$$8x^3+y^3=(2x+y)(4x^2-2xy+y^2),$$

mamy

$$\frac{3(2x+y)}{(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)}\cdot \frac{4x^2-2xy+y^2}{x^2+y^2} =\frac3{x^2+y^2}.$$