NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 133 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczba należy do dziedziny ułamka algebraicznego wtedy i tylko wtedy, gdy nie zeruje jego mianownika. Podstawiamy $x=2$ .

a)

2^2+4\cdot2+4=16\neq0,

więc $2$ należy do dziedziny.

b)

2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0,

zatem $2$ nie należy do dziedziny.

c)

2^5-2^4-10\cdot2+4=32-16-20+4=0,

więc również tutaj $2$ jest wykluczone.

Odpowiedź

a) Tak.
b) Nie.
c) Nie.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianowniki na czynniki i wybieramy spośród podanych liczb ich zera.

a)

x^3-9x^2=x^2(x-9).

Spośród liczb z listy mianownik zeruje tylko $0$ .

b)

x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2,

więc wykluczone są $0$ i $2$ .

c)

x^2-x-6=(x-3)(x+2),

zatem nie należą do dziedziny $-2$ i $3$ .

d)

x^3-x^2-2x=x(x-2)(x+1),

więc wykluczamy $-1$ , $0$ i $2$ .

Odpowiedź

a) $0$ .
b) $0$ , $2$ .
c) $-2$ , $3$ .
d) $-1$ , $0$ , $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzinę wyznaczamy przed skracaniem. Po rozłożeniu liczników i mianowników otrzymujemy:

	Dziedzina	Postać uproszczona	Wartość dla $x=-1$
a)	$\mathbb R\setminus\{0\}$	$x(x^2-7)=x^3-7x$	$6$
b)	$\mathbb R\setminus\{-1,0\}$	$2(x+1)$	$-1\notin D$
c)	$\mathbb R\setminus\{-1\}$	$\frac{x-1}{x+1}$	$-1\notin D$
d)	$\mathbb R\setminus\{2\}$	$\frac{x+2}{x-2}$	$-\frac13$
e)	$\mathbb R\setminus\{-3,0,3\}$	$\frac{x}{x+3}$	$-\frac12$
f)	$\mathbb R$	$\frac{x^2-1}{x^2+1}$	$0$
g)	$\mathbb R\setminus\{0,1\}$	$\frac{(x+1)(x^2+1)}{x-1}$	$0$
h)	$\mathbb R\setminus\{-3,-2\}$	$\frac{2(x+3)}{x+2}$	$4$

Przykładowo w g) zachowujemy oba wykluczenia z pierwotnego mianownika $x^2(x-1)^2$ , mimo że po skróceniu nie występuje już czynnik $x^2$ .

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $x^3-7x$ , wartość $6$ ;
b) $D=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$ , $2(x+1)$ , $-1\notin D$ ;
c) $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$ , $\frac{x-1}{x+1}$ , $-1\notin D$ ;
d) $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ , $\frac{x+2}{x-2}$ , wartość $-\frac13$ ;
e) $D=\mathbb R\setminus\{-3,0,3\}$ , $\frac{x}{x+3}$ , wartość $-\frac12$ ;
f) $D=\mathbb R$ , $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ , wartość $0$ ;
g) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $\frac{(x+1)(x^2+1)}{x-1}$ , wartość $0$ ;
h) $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2\}$ , $\frac{2(x+3)}{x+2}$ , wartość $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zera mianownika wyznaczają dziedzinę. Następnie podstawiamy kolejno $x=-1$ i $x=-2$ .

a) $x^2+3x=x(x+3)$ , więc $D=\mathbb R\setminus\{-3,0\}$ . Otrzymujemy

W(-1)=1,\qquad W(-2)=-5.

b) $\frac12x^2-1=0$ dla $x=\pm\sqrt2$ , zatem $D=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2,\sqrt2\}$ oraz

W(-1)=-10,\qquad W(-2)=1.

c) Mianownik jest zerem, gdy $x^3=2$ , czyli dla $x=\sqrt[3]{2}$ . Stąd

D=\mathbb R\setminus\{\sqrt[3]{2}\},\qquad W(-1)=\frac{16}{3},\quad W(-2)=0.

d) Ponieważ

2x^2-7x-4=(2x+1)(x-4),

dziedziną jest $\mathbb R\setminus\left\{-\frac12,4\right\}$ . Po podstawieniu:

W(-1)=-\frac15,\qquad W(-2)=-1.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-3,0\}$ ; wartości kolejno $1$ , $-5$ .
b) $D=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2,\sqrt2\}$ ; wartości $-10$ , $1$ .
c) $D=\mathbb R\setminus\{\sqrt[3]{2}\}$ ; wartości $\frac{16}{3}$ , $0$ .
d) $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac12,4\right\}$ ; wartości $-\frac15$ , $-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy równania otrzymane przez przyrównanie mianowników do zera, a potem podstawiamy trzy wskazane argumenty.

a) $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , więc

D=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;\infty).

Wartości dla $x=-3,1,3$ wynoszą kolejno $\frac35,-1,3$ .

b) $x^2-3=0$ dla $x=\pm\sqrt3$ , zatem

D=(-\infty;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;\infty),

a wartości to kolejno $5,-11,5$ .

c) $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$ , więc

D=\left(-\infty;-\frac12\right)\cup \left(-\frac12;\frac12\right)\cup \left(\frac12;\infty\right).

Wartości wynoszą $-\frac1{14},\frac12,\frac1{10}$ .

d) $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$ , dlatego

D=\left(-\infty;-\frac32\right)\cup \left(-\frac32;\frac32\right)\cup \left(\frac32;\infty\right),

a wartości wynoszą $\frac53,\frac35,\frac13$ .

Odpowiedź

a) $D=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;\infty)$ ; wartości $\frac35,-1,3$ .
b) $D=(-\infty;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;\infty)$ ; wartości $5,-11,5$ .
c) $D=\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;\frac12\right)\cup\left(\frac12;\infty\right)$ ; wartości $-\frac1{14},\frac12,\frac1{10}$ .
d) $D=\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(-\frac32;\frac32\right)\cup\left(\frac32;\infty\right)$ ; wartości $\frac53,\frac35,\frac13$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy każdy mianownik na czynniki i podstawiamy $x=-2$ :

	Rozkład mianownika	Dziedzina	Wartość dla $x=-2$
a)	$(x-2)(x+1)$	$\mathbb R\setminus\{-1,2\}$	$-\frac32$
b)	$(2x-1)(2x+1)$	$\mathbb R\setminus\left\{-\frac12,\frac12\right\}$	$-\frac25$
c)	$x(x+4)^2$	$\mathbb R\setminus\{-4,0\}$	$\frac12$
d)	$(x-2)(x+1)$	$\mathbb R\setminus\{-1,2\}$	$\frac14$
e)	$(x-2)(x^2+2x+4)$	$\mathbb R\setminus\{2\}$	$\frac34$
f)	$x(x-1)^2$	$\mathbb R\setminus\{0,1\}$	$-1$

W e) czynnik kwadratowy ma wyróżnik $-12$ , więc nie ma rzeczywistych zer.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$ , wartość $-\frac32$ ;
b) $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac12,\frac12\right\}$ , wartość $-\frac25$ ;
c) $D=\mathbb R\setminus\{-4,0\}$ , wartość $\frac12$ ;
d) $D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$ , wartość $\frac14$ ;
e) $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ , wartość $\frac34$ ;
f) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , wartość $-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzina iloczynu jest częścią wspólną dziedzin obu czynników, dlatego w każdym podpunkcie łączymy wszystkie zera mianowników.

a)

x^2-9x=x(x-9),\qquad x^2+2x=x(x+2).

Zatem

D_A=\mathbb R\setminus\{0,9\},\quad D_B=\mathbb R\setminus\{-2,0\},\quad D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,0,9\}.

b) Mianowniki mają postacie

x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad 4x-x^3=-x(x-2)(x+2).

Stąd

D_A=\mathbb R\setminus\{-2,2\},\quad D_B=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\},\quad D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}.

c)

x^3-4x=x(x-2)(x+2),\qquad x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2.

Zatem

D_A=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\},\quad D_B=\mathbb R\setminus\{0,2\},\quad D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}.

d)

x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1),

x^2+x-2=(x-1)(x+2).

Stąd

D_A=\mathbb R\setminus\{-1,1,2\},\quad D_B=\mathbb R\setminus\{-2,1\},\quad D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,-1,1,2\}.

Odpowiedź

a) $D_A=\mathbb R\setminus\{0,9\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{-2,0\}$ , $D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,0,9\}$ .
b) $D_A=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ , $D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ .
c) $D_A=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ , $D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ .
d) $D_A=\mathbb R\setminus\{-1,1,2\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{-2,1\}$ , $D_{A\cdot B}=\mathbb R\setminus\{-2,-1,1,2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedziny wyznaczamy z mianowników przed skracaniem. Po rozłożeniu czynników i skróceniu otrzymujemy:

	Dziedzina	Wynik
a)	$\mathbb R\setminus\{0,2\}$	$\frac3{2x}$
b)	$\mathbb R\setminus\left\{-\frac32,1\right\}$	$-3$
c)	$\mathbb R\setminus\{0,3\}$	$-\frac3{x^2}$
d)	$\mathbb R\setminus\{-1,1\}$	$\frac{x^2}{(x+1)(x^2+1)}$
e)	$\mathbb R\setminus\left\{-1,\frac12,1\right\}$	$\frac{x+1}{2(x-1)}$
f)	$\mathbb R\setminus\{-3,-2,0\}$	$\frac{(x-2)(x-3)}x$
g)	$\mathbb R\setminus\{-2,2\}$	$-\frac{x^2}{3}$
h)	$\mathbb R\setminus\{-1,1,2\}$	$-\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}$
i)	$\mathbb R\setminus\{-3,3\}$	$x+3$

Na przykład w i) używamy $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ oraz $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Mimo pełnego skrócenia zachowujemy wykluczenia $x=-3$ i $x=3$ z pierwotnych mianowników.

Odpowiedź

a) $\frac3{2x}$ , $D=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ ;
b) $-3$ , $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac32,1\right\}$ ;
c) $-\frac3{x^2}$ , $D=\mathbb R\setminus\{0,3\}$ ;
d) $\frac{x^2}{(x+1)(x^2+1)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ ;
e) $\frac{x+1}{2(x-1)}$ , $D=\mathbb R\setminus\left\{-1,\frac12,1\right\}$ ;
f) $\frac{(x-2)(x-3)}x$ , $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2,0\}$ ;
g) $-\frac{x^2}{3}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ ;
h) $-\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-1,1,2\}$ ;
i) $x+3$ , $D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem