NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 132

Najpierw wyznaczamy dziedziny z mianowników wyrażeń podanych w treści, a następnie rozkładamy wielomiany na czynniki.

a) $D=\mathbb R\setminus\{-2,3\}$ oraz

$$\frac{4(x-3)}{x+2}\cdot\frac{2(x+2)}{2(x-3)}=4.$$

b) $D=\mathbb R\setminus\{-3,0,3\}$ oraz

$$\frac{-(x-3)}x\cdot\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}=-\frac2x.$$

c) $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac12,0\right\}$ oraz

$$\frac{x(5-x)}{2x+1}\cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{x^2} =\frac{(5-x)(2x-1)}x.$$

d) $D=\mathbb R\setminus\{-2,2,3\}$. Ponieważ $0{,}5x+1=\frac12(x+2)$ i $9-3x=-3(x-3)$, mamy

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{\frac12(x+2)}{-3(x-3)} =-\frac{x+3}{6(x-2)}.$$

e) $D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ oraz

$$\frac{(x-2)^2}{(x+2)^2}\cdot \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} =\frac{x-2}{(x+2)^2}.$$

f) $D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1,3\}$. Rozkładamy $3x^2-x^3=-x^2(x-3)$ i $x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)$:

$$\frac{-x^2(x-3)}{2(x-3)}\cdot \frac{(x+1)^2}{x^2(x-1)(x+1)} =-\frac{x+1}{2(x-1)}.$$

Przy dzieleniu przez ułamek mnożymy przez jego odwrotność. W każdym podpunkcie licznik dzielnika jest stałą niezerową, więc dziedzinę wyznacza jedyny występujący czynnik liniowy w mianownikach.

a) Dla $x\neq2$:

$$\frac6{x-2}:\frac3{4(x-2)} =\frac6{x-2}\cdot\frac{4(x-2)}3=8.$$

b) Dla $x\neq-\frac12$:

$$\frac{-5}{2x+1}:\frac{10}{3(2x+1)}=-\frac32.$$

c) Dla $x\neq\frac32$ korzystamy z $3-2x=-(2x-3)$:

$$\frac{-6}{3-2x}:\frac9{2(2x-3)} =\frac6{2x-3}\cdot\frac{2(2x-3)}9=\frac43.$$

d) Dla $x\neq-\frac13$:

$$\frac{16}{3x+1}:\frac{12}{3(3x+1)}=4.$$

e) Dla $x\neq-7$:

$$\frac7{5(x+7)}:\frac{-35}{x+7}=-\frac1{25}.$$

f) Dla $x\neq-\frac32$:

$$\frac{25}{3(2x+3)}:\frac{15}{2(2x+3)}=\frac{10}{9}.$$

Oprócz zer mianowników wykluczamy wartości, dla których dzielnik jest równy zeru.

a) Mamy $x\neq0$ oraz $x\neq3$. Wtedy

$$\frac{2(x-3)}x:\frac{x-3}{4x^2} =\frac{2(x-3)}x\cdot\frac{4x^2}{x-3}=8x.$$

b) Z mianowników otrzymujemy $x\neq-1,1$, a z warunku niezerowości dzielnika także $x\neq-2$. Zatem

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}: \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=(x-2)(x-1).$$

c) Wykluczamy $x=-3,3$ z mianowników oraz $x=0$, bo wtedy dzielnik jest zerem. Otrzymujemy

$$\frac{2x}{(x-3)(x+3)}: \frac{6x^2}{(x-3)^2} =\frac{x-3}{3x(x+3)}.$$

d) Wykluczamy $x=-1$ oraz zero dzielnika $x=5$. Korzystając z $125-x^3=-(x-5)(x^2+5x+25)$, dostajemy

$$\frac{125-x^3}{(x+1)^2}:\frac{x-5}{x+1} =-\frac{x^2+5x+25}{x+1}.$$

e) Pierwszy mianownik daje $x\neq1$. Wielomian $x^2+x+1$ nie ma rzeczywistych zer, więc dzielnik nie zeruje się. Stąd

$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}: \frac{x^2+x+1}{x^2+1}=x^2+1.$$

f) Mianownik $x^2-3x+9$ nie ma zer rzeczywistych. Dzielnik jest określony dla $x\neq-3$ i niezerowy dla $x\neq-4,0$, więc

$$\frac{x+4}{x^2-3x+9}: \frac{x(x+4)}{(x+3)(x^2-3x+9)} =\frac{x+3}{x}.$$