Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 131

rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „3.4. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z dziedziny wykluczamy rzeczywiste miejsca zerowe mianownika. Rozkłady mianowników są następujące:

podpunkt	rozkład mianownika	dziedzina
a)	$x^2-9=(x-3)(x+3)$	$\mathbb R\setminus\{-3,3\}$
b)	$4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$	$\mathbb R\setminus\left\{-\frac52,\frac52\right\}$
c)	$x^2-3x=x(x-3)$	$\mathbb R\setminus\{0,3\}$
d)	$2x^2+5x=x(2x+5)$	$\mathbb R\setminus\left\{-\frac52,0\right\}$
e)	$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$	$\mathbb R\setminus\{-3,-2\}$
f)	$2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)$	$\mathbb R\setminus\left\{\frac32,2\right\}$
g)	$x^5+27x^2=x^2(x+3)(x^2-3x+9)$	$\mathbb R\setminus\{-3,0\}$
h)	$x^3-5x^2+4x-20=(x-5)(x^2+4)$	$\mathbb R\setminus\{5\}$

W g) trójmian $x^2-3x+9$ nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, bo jego wyróżnik jest równy $-27$ . W h) czynnik $x^2+4$ również nie zeruje się dla $x\in\mathbb R$ .

Liczba $-1$ należy do każdej z wyznaczonych dziedzin. Podstawiamy ją do wyrażeń:

podpunkt	wartość dla $x=-1$
a)	$\dfrac{-3-2-1}{1-9}=\dfrac34$
b)	$\dfrac{6-3-7}{4-25}=\dfrac4{21}$
c)	$\dfrac{19-8-6}{1+3}=\dfrac54$
d)	$\dfrac{6+5+1}{2-5}=-4$
e)	$\dfrac{-6-9}{1-5+6}=-\dfrac{15}{2}$
f)	$\dfrac{-4-2+1}{2+7+6}=-\dfrac13$
g)	$\dfrac{14+8+4}{-1+27}=1$
h)	$\dfrac{5+10}{-1-5-4-20}=-\dfrac12$

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ , wartość $\frac34$ .
b) $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac52,\frac52\right\}$ , wartość $\frac4{21}$ .
c) $D=\mathbb R\setminus\{0,3\}$ , wartość $\frac54$ .
d) $D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac52,0\right\}$ , wartość $-4$ .
e) $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2\}$ , wartość $-\frac{15}{2}=-7{,}5$ .
f) $D=\mathbb R\setminus\left\{\frac32,2\right\}$ , wartość $-\frac13$ .
g) $D=\mathbb R\setminus\{-3,0\}$ , wartość $1$ .
h) $D=\mathbb R\setminus\{5\}$ , wartość $-\frac12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzinę ustalamy przed skracaniem czynników.

\frac{x^2-9}{3-x} =\frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} =-x-3, \qquad x\neq3.

\frac{3x^2-6x}{x-2} =\frac{3x(x-2)}{x-2} =3x, \qquad x\neq2.

\frac{2x^2+10x}{x^2-25} =\frac{2x(x+5)}{(x-5)(x+5)} =\frac{2x}{x-5}, \qquad x\neq-5,\ 5.

d) Ponieważ $x^2+4>0$ dla każdej liczby rzeczywistej,

\frac{x^3+4x}{x^2+4} =\frac{x(x^2+4)}{x^2+4} =x, \qquad D=\mathbb R.

\frac{x^2-1}{x^4-x^3} =\frac{(x-1)(x+1)}{x^3(x-1)} =\frac{x+1}{x^3}, \qquad x\neq0,\ 1.

\frac{4-x^2}{x^2-2x} =\frac{-(x-2)(x+2)}{x(x-2)} =-\frac{x+2}{x}, \qquad x\neq0,\ 2.

\frac{x^3-3x^2}{x^2-6x+9} =\frac{x^2(x-3)}{(x-3)^2} =\frac{x^2}{x-3}, \qquad x\neq3.

\frac{x^2+4x+4}{x^4-16} =\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} =\frac{x+2}{(x-2)(x^2+4)}, \qquad x\neq-2,\ 2.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{3\}$ , $-x-3$ .
b) $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ , $3x$ .
c) $D=\mathbb R\setminus\{-5,5\}$ , $\frac{2x}{x-5}$ .
d) $D=\mathbb R$ , $x$ .
e) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $\frac{x+1}{x^3}$ .
f) $D=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ , $-\frac{x+2}{x}$ .
g) $D=\mathbb R\setminus\{3\}$ , $\frac{x^2}{x-3}$ .
h) $D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ , $\frac{x+2}{(x-2)(x^2+4)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem