NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 129

Dla hiperboli

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

punktami przecięcia z osią $OX$ są $(\pm a,0)$, nie ma punktów przecięcia z osią $OY$, a asymptoty mają równania $y=\pm\frac ba x$. Hiperbola sprzężona ma równanie

$$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1.$$

Analogicznie postępujemy, gdy dodatni składnik zawiera $y^2$.

a) Dla $y=0$ otrzymujemy

$$\frac{x^2}{9}=1,$$

czyli $x=\pm3$. Dla $x=0$ równanie $-\frac{y^2}{4}=1$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Ponieważ $a=3$ i $b=2$, asymptoty to

$$y=\pm\frac23x.$$

Hiperbola jest skierowana w lewo i w prawo, a sprzężona — w górę i w dół. Jej równanie to

$$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1.$$

b) Podstawienie $y=0$ daje $x^2=16$, więc punkty przecięcia z osią $OX$ to $(-4,0)$ i $(4,0)$. Dla $x=0$ nie ma rozwiązania rzeczywistego. Asymptoty i równanie hiperboli sprzężonej są następujące:

$$y=\pm\frac54x, \qquad \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1.$$

Hiperbola wyjściowa ma gałęzie skierowane w lewo i w prawo.

c) Dla $x=0$ mamy $\frac{y^2}{16}=1$, zatem $y=\pm4$. Dla $y=0$ równanie $-\frac{x^2}{4}=1$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zapis

$$\frac{y^2}{4^2}-\frac{x^2}{2^2}=1$$

daje asymptoty $y=\pm\frac42x=\pm2x$. Hiperbola wyjściowa jest skierowana w górę i w dół, a sprzężona ma równanie

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1.$$

d) Równanie zapisujemy jako

$$\frac{y^2}{3^2}-\frac{x^2}{1^2}=1.$$

Dla $x=0$ otrzymujemy $y=\pm3$, natomiast dla $y=0$ brak rozwiązań rzeczywistych. Asymptoty mają równania $y=\pm3x$. Hiperbola wyjściowa jest skierowana w górę i w dół, a równanie hiperboli sprzężonej to

$$x^2-\frac{y^2}{9}=1.$$