NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 13

Dla równania $ax^2+bx+c=0$ obliczamy $\Delta=b^2-4ac$. Znak wyróżnika określa liczbę pierwiastków rzeczywistych.

a)

$$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot4=-7<0,$$

więc równanie ma $0$ pierwiastków rzeczywistych.

b)

$$\Delta=3^2-4\cdot5\cdot(-2)=49>0,$$

więc równanie ma $2$ pierwiastki rzeczywiste.

c)

$$\Delta=2^2-4\cdot(-3)\cdot9=112>0,$$

więc równanie ma $2$ pierwiastki rzeczywiste.

d)

$$\Delta=20^2-4\cdot4\cdot25=0,$$

więc równanie ma $1$ pierwiastek rzeczywisty.

e)

$$\Delta=\left(-\frac52\right)^2-4\cdot6\cdot\frac14 =\frac{25}{4}-6=\frac14>0,$$

więc równanie ma $2$ pierwiastki rzeczywiste.

f)

$$\Delta=(-2)^2-4\cdot\left(-\frac23\right)\cdot6=4+16=20>0,$$

więc równanie ma $2$ pierwiastki rzeczywiste.

g) Tutaj $c=0$, zatem

$$\Delta=3^2-4\cdot8\cdot0=9>0.$$

Równanie ma $2$ pierwiastki rzeczywiste.

h) Tutaj $b=0$, zatem

$$\Delta=0^2-4\cdot5\cdot(-9)=180>0.$$

Równanie ma $2$ pierwiastki rzeczywiste.

i) Tutaj $b=0$, zatem

$$\Delta=0^2-4\cdot\frac34\cdot\frac12=-\frac32<0.$$

Równanie ma $0$ pierwiastków rzeczywistych.

a)

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=64,$$ $$x_1=\frac{6-8}{2}=-1, \qquad x_2=\frac{6+8}{2}=7.$$

b)

$$\Delta=7^2-4\cdot2\cdot(-4)=81,$$ $$x_1=\frac{-7-9}{4}=-4, \qquad x_2=\frac{-7+9}{4}=\frac12.$$

c)

$$\Delta=5^2-4\cdot4\cdot1=9,$$ $$x_1=\frac{-5-3}{8}=-1, \qquad x_2=\frac{-5+3}{8}=-\frac14.$$

d)

$$\Delta=(-2)^2-4\cdot4\cdot\frac14=0, \qquad x_0=\frac{2}{8}=\frac14.$$

e)

$$\Delta=2^2-4\cdot5\cdot1=-16<0.$$

Równanie nie ma rozwiązań w $\mathbb R$.

f)

$$\Delta=1^2-4\cdot(-6)\cdot1=25,$$ $$x_1=\frac{-1+5}{-12}=-\frac13, \qquad x_2=\frac{-1-5}{-12}=\frac12.$$

g)

$$\Delta=5^2-4\cdot25\cdot(-6)=625,$$ $$x_1=\frac{-5-25}{50}=-\frac35, \qquad x_2=\frac{-5+25}{50}=\frac25.$$

h)

$$\Delta=(-6\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot9=0, \qquad x_0=\frac{6\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

i)

$$\Delta=\left(-\frac72\right)^2-4\cdot\frac32\cdot1 =\frac{25}{4},$$ $$x_{1,2}=\frac{\frac72\pm\frac52}{3},$$

czyli $x_1=\frac13$ oraz $x_2=2$.

a)

$$x^2+1=5-2x^2 \iff 3x^2=4 \iff x=\pm\frac{2\sqrt3}{3}.$$

b)

$$3(x^2+1)=5 \iff 3x^2=2 \iff x=\pm\frac{\sqrt6}{3}.$$

c)

$$(x-1)^2=-2x \iff x^2-2x+1=-2x \iff x^2=-1.$$

Równanie nie ma rozwiązań w $\mathbb R$.

d) Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$$\left(\frac12x-1\right)\left(\frac12x+1\right)=2,$$ $$\frac14x^2-1=2 \iff x^2=12 \iff x=\pm2\sqrt3.$$

e)

$$(x+1)^2-(1-2x)^2=0,$$ $$\bigl[(x+1)-(1-2x)\bigr] \bigl[(x+1)+(1-2x)\bigr]=3x(2-x)=0.$$

Stąd $x=0$ lub $x=2$.

f)

$$(3x-2)^2-(2x+3)^2=0,$$ $$\bigl[(3x-2)-(2x+3)\bigr] \bigl[(3x-2)+(2x+3)\bigr]=(x-5)(5x+1)=0.$$

Zatem $x=5$ lub $x=-\frac15$.

g)

$$(1-x)^2=\frac14 \iff 1-x=\pm\frac12.$$

Stąd $x=\frac12$ lub $x=\frac32$.

h)

$$(3x+1)^2=9 \iff 3x+1=\pm3.$$

Stąd $x=-\frac43$ lub $x=\frac23$.

i)

$$(2x-1)^2=4 \iff 2x-1=\pm2.$$

Stąd $x=-\frac12$ lub $x=\frac32$.

a) Mnożymy równanie przez $6$:

$$3(1-x^2)=2(x^2-1),$$ $$3-3x^2=2x^2-2 \iff x^2=1.$$

Zatem $x=-1$ lub $x=1$.

b) Mnożymy równanie przez $6$:

$$3(x-2)-x(x-2)=0,$$ $$(x-2)(3-x)=0.$$

Stąd $x=2$ lub $x=3$.

c) Mnożymy równanie przez $6$:

$$3(x+2)^2-12=2(x+3)^2,$$ $$3x^2+12x=2x^2+12x+18 \iff x^2=18.$$

Zatem $x=-3\sqrt2$ lub $x=3\sqrt2$.

d) Mnożymy równanie przez $3$:

$$(x+3)^2=3x^2+(x+4)^2,$$ $$x^2+6x+9=4x^2+8x+16,$$ $$3x^2+2x+7=0.$$

Wyróżnik ostatniego równania jest ujemny:

$$\Delta=2^2-4\cdot3\cdot7=-80<0.$$

Równanie nie ma rozwiązań w $\mathbb R$.

W postaci $a(x-x_1)(x-x_2)$ miejsca zerowe odczytujemy bezpośrednio z czynników.

a)

$$x_1=-\frac13, \qquad x_2=\frac12,$$

więc

$$|x_1-x_2|=\left|-\frac13-\frac12\right|=\frac56.$$

b)

$$x_1=0, \qquad x_2=\sqrt2,$$

zatem $|x_1-x_2|=\sqrt2$.

c)

$$x_1=-2+\sqrt5, \qquad x_2=-2-\sqrt5,$$

więc

$$|x_1-x_2|=|2\sqrt5|=2\sqrt5.$$

d)

$$x_1=\frac{1-\sqrt3}{2}, \qquad x_2=\frac{1+\sqrt3}{2},$$

zatem $|x_1-x_2|=\sqrt3$.

Szukane argumenty spełniają równanie $f(x)=p$.

a)

$$x^2+4x-13=8 \iff x^2+4x-21=0,$$ $$(x+7)(x-3)=0.$$

Zatem $x=-7$ lub $x=3$.

b)

$$3x^2+11x-6=-2 \iff 3x^2+11x-4=0.$$

Ponieważ

$$\Delta=11^2-4\cdot3\cdot(-4)=169,$$

to

$$x_1=\frac{-11-13}{6}=-4, \qquad x_2=\frac{-11+13}{6}=\frac13.$$

c)

$$-4x^2+24x=9 \iff 4x^2-24x+9=0.$$

Mamy

$$\Delta=(-24)^2-4\cdot4\cdot9=432=144\cdot3,$$

więc

$$x_{1,2}=\frac{24\pm12\sqrt3}{8} =3\pm\frac{3\sqrt3}{2}.$$

d)

$$\frac13x^2+4x=-3\quad |\,\cdot3,$$ $$x^2+12x+9=0.$$

Mamy

$$\Delta=12^2-4\cdot1\cdot9=108=36\cdot3,$$

więc

$$x_{1,2}=\frac{-12\pm6\sqrt3}{2}=-6\pm3\sqrt3.$$

Szukane argumenty spełniają równanie $f(x)=g(x)$.

a)

$$x^2+12=-x^2+11x \iff 2x^2-11x+12=0.$$

Ponieważ

$$\Delta=(-11)^2-4\cdot2\cdot12=25,$$

to

$$x_1=\frac{11-5}{4}=\frac32, \qquad x_2=\frac{11+5}{4}=4.$$

b)

$$\frac13x^2-x=\frac12x^2-\frac34x \quad |\,\cdot12,$$ $$4x^2-12x=6x^2-9x \iff x(2x+3)=0.$$

Zatem $x=0$ lub $x=-\frac32$.

c)

$$(2x-1)^2=3x-2 \iff 4x^2-7x+3=0.$$

Ponieważ

$$\Delta=(-7)^2-4\cdot4\cdot3=1,$$

to

$$x_1=\frac{7-1}{8}=\frac34, \qquad x_2=\frac{7+1}{8}=1.$$

d) Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$(3x+2)^2-(x-4)^2=0,$$ $$\bigl[(3x+2)-(x-4)\bigr] \bigl[(3x+2)+(x-4)\bigr]=(2x+6)(4x-2)=0.$$

Stąd $x=-3$ lub $x=\frac12$.

Jeżeli trójmian ma rzeczywiste miejsca zerowe $x_1,x_2$, to $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

a)

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-24)=100.$$

Miejscami zerowymi są $-6$ i $4$, zatem

$$y=(x+6)(x-4).$$

b)

$$\Delta=(-11)^2-4\cdot2\cdot15=1.$$

Miejsca zerowe to $x_1=\frac52$ oraz $x_2=3$, więc

$$y=2(x-3)\left(x-\frac52\right).$$

c)

$$\Delta=(-2)^2-4\cdot\frac12\cdot(-3)=10.$$

Ponieważ $2a=1$, otrzymujemy $x_1=2-\sqrt{10}$ i $x_2=2+\sqrt{10}$. Zatem

$$y=\frac12(x-2+\sqrt{10})(x-2-\sqrt{10}).$$

d)

$$y=-(x^2-14x+49)=-(x-7)^2.$$

e)

$$y=-(4x^2+12x+9)=-(2x+3)^2 =-4\left(x+\frac32\right)^2.$$

f)

$$\Delta=2^2-4\cdot(-3)\cdot\frac14=7.$$

Miejsca zerowe są równe

$$x_1=\frac{2+\sqrt7}{6}, \qquad x_2=\frac{2-\sqrt7}{6}.$$

Zatem

$$y=-3\left(x-\frac{2+\sqrt7}{6}\right) \left(x-\frac{2-\sqrt7}{6}\right).$$

g)

$$y=\frac14(x^2+8x+16)=\frac14(x+4)^2.$$

h)

$$y=\frac43\left(x^2-3x+\frac94\right) =\frac43\left(x-\frac32\right)^2.$$

i)

$$\Delta=(-5)^2-4\cdot3\cdot4=-23<0.$$

Trójmian nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, więc nie ma postaci iloczynowej z czynnikami liniowymi nad $\mathbb R$.