NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 12

Korzystamy ze wzorów na różnicę kwadratów oraz kwadrat sumy lub różnicy.

a)

$$4x^2-25=(2x-5)(2x+5)=0,$$

zatem $2x-5=0$ lub $2x+5=0$, czyli

$$x=\frac52\quad\text{lub}\quad x=-\frac52.$$

b)

$$1-\frac94x^2=\left(1-\frac32x\right) \left(1+\frac32x\right)=0,$$

więc

$$x=\frac23\quad\text{lub}\quad x=-\frac23.$$

c)

$$x^2+14x+49=(x+7)^2=0,$$

stąd $x=-7$.

d)

$$9x^2+6x+1=(3x+1)^2=0,$$

stąd $x=-\frac13$.

e) Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2=0,$$

zatem $x=5$.

f)

$$4x^2+15=20x-10,$$ $$4x^2-20x+25=(2x-5)^2=0,$$

zatem $x=\frac52$.

Dla każdego trójmianu obliczamy wyróżnik i pierwiastki. Gdy istnieją pierwiastki rzeczywiste $x_1,x_2$, korzystamy z postaci $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

a) $a=6$, $b=1$, $c=-1$.

$$\Delta=1^2-4\cdot6\cdot(-1)=25,$$ $$x_1=\frac{-1-5}{12}=-\frac12, \qquad x_2=\frac{-1+5}{12}=\frac13.$$

Zatem

$$y=6\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right).$$

b) $a=2$, $b=-5$, $c=2$.

$$\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=9,$$ $$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12, \qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2,$$

więc

$$y=2\left(x-\frac12\right)(x-2).$$

c) $a=-1$, $b=\frac{10}{3}$, $c=-1$.

$$\Delta=\frac{100}{9}-4=\frac{64}{9},$$ $$x_1=\frac13, \qquad x_2=3.$$

Stąd

$$y=-\left(x-\frac13\right)(x-3).$$

d) Po pomnożeniu równania $y=0$ przez $2$ otrzymujemy $x^2-6x-7=0$. Zatem

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=64,$$ $$x_1=-1, \qquad x_2=7,$$

a więc

$$y=\frac12(x+1)(x-7).$$

e)

$$\Delta=(\sqrt2)^2-4\cdot1\cdot(-4)=18, \qquad \sqrt\Delta=3\sqrt2,$$ $$x_1=\frac{-\sqrt2-3\sqrt2}{2}=-2\sqrt2, \qquad x_2=\frac{-\sqrt2+3\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

Zatem

$$y=(x+2\sqrt2)(x-\sqrt2).$$

f) Równanie $-3x^2+2x+2=0$ mnożymy przez $-1$:

$$3x^2-2x-2=0.$$

Wówczas

$$\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-2)=28, \qquad \sqrt\Delta=2\sqrt7,$$ $$x_1=\frac{1-\sqrt7}{3}, \qquad x_2=\frac{1+\sqrt7}{3}.$$

Współczynnik przy $x^2$ w wyjściowym trójmianie jest równy $-3$, więc

$$y=-3\left(x-\frac{1-\sqrt7}{3}\right) \left(x-\frac{1+\sqrt7}{3}\right).$$

g)

$$y=1-9x^2=(1-3x)(1+3x).$$

Pierwiastki to $x_1=-\frac13$ i $x_2=\frac13$, a postać zgodna ze współczynnikiem głównym ma postać

$$y=-9\left(x+\frac13\right)\left(x-\frac13\right).$$

h)

$$y=-\frac14x^2-3x=-\frac14x(x+12).$$

Pierwiastki to $x_1=-12$ oraz $x_2=0$.

i)

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot4\cdot2=-16<0.$$

Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc nie ma postaci iloczynowej z czynnikami liniowymi nad $\mathbb R$.