NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 128

Obie współrzędne punktu mają być całkowite, więc $x\in\mathbb Z$. Po przejściu do postaci kanonicznej część ułamkowa musi być całkowita, zatem jej mianownik musi dzielić licznik.

a)

$$f(x)=2+\frac5{x-3}.$$

Warunek całkowitości to

$$x-3\in\{-5,-1,1,5\},$$

więc $x\in\{-2,2,4,8\}$. Otrzymujemy punkty

$$(-2,1),\quad(2,-3),\quad(4,7),\quad(8,3).$$

b)

$$f(x)=-3-\frac4{x+2}.$$

Dzielnikami całkowitymi liczby $-4$ są $\pm1,\pm2,\pm4$, stąd

$$x+2\in\{-4,-2,-1,1,2,4\}$$

i $x\in\{-6,-4,-3,-1,0,2\}$. Punkty to

$$(-6,-2),\quad(-4,-1),\quad(-3,1),\quad (-1,-7),\quad(0,-5),\quad(2,-4).$$

c)

$$f(x)=2+\frac{12}{x-4}.$$

Mamy

$$x-4\in\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\}.$$

Po dodaniu $4$ i obliczeniu wartości funkcji dostajemy

$$\begin{aligned} &(-8,1),\quad(-2,0),\quad(0,-1),\quad(1,-2),\\ &(2,-4),\quad(3,-10),\quad(5,14),\quad(6,8),\\ &(7,6),\quad(8,5),\quad(10,4),\quad(16,3). \end{aligned}$$

Ułamek $\frac{ax+b}{cx+d}$ określa funkcję homograficzną, gdy współczynnik przy $x$ w mianowniku jest niezerowy oraz $ad-bc\neq0$. Gdy mianownik jest stałą niezerową, otrzymujemy funkcję liniową. Gdy licznik i mianownik są proporcjonalne, funkcja jest stała w swojej dziedzinie.

a) Dla $c=0$:

$$f(x)=\frac{4x-6}{3}=\frac43x-2,$$

czyli funkcja jest liniowa. Wyznacznik współczynników wynosi

$$4\cdot3-(-6)c=12+6c.$$

Znika dla $c=-2$. Wtedy

$$f(x)=\frac{4x-6}{-2x+3}=-2$$

dla $x\neq\frac32$, więc funkcja jest stała. Dla $c\in\mathbb R\setminus\{-2,0\}$ jest homograficzna.

b) Współczynnik przy $x$ w mianowniku zawsze wynosi $1$. Wyznacznik:

$$\frac12(-c)-(-4)\cdot1=4-\frac c2.$$

Dla $c=8$ jest równy zeru i

$$f(x)=\frac{\frac12(x-8)}{x-8}=\frac12$$

dla $x\neq8$. Dla $c\neq8$ funkcja jest homograficzna; nie ma wartości $c$ dającej funkcję liniową.

c) Dla $c=0$:

$$f(x)=-\frac65x,$$

więc funkcja jest liniowa. Dla $c\neq0$ wyznacznik jest równy

$$6\cdot(-5)-0\cdot c=-30\neq0,$$

zatem funkcja jest homograficzna. Nie ma przypadku funkcji stałej.

a)

$$f(x)=\frac{3(x-3)}{x-3}=3,\qquad x\neq3.$$

Jest to funkcja stała na dziedzinie $\mathbb R\setminus\{3\}$, a nie homograficzna. Jej wykres to prosta $y=3$ bez punktu $(3,3)$.

b)

$$f(x)=\frac{-2(x+4)}{\frac12(x+4)}=-4,\qquad x\neq-4.$$

To funkcja stała na $\mathbb R\setminus\{-4\}$; wykres jest prostą $y=-4$ bez punktu $(-4,-4)$.

c) Ponieważ $4-2x=-2(x-2)$,

$$f(x)=\frac{x-2}{-2(x-2)}=-\frac12,\qquad x\neq2.$$

Wykres jest prostą $y=-\frac12$ z usuniętym punktem $(2,-\frac12)$. Funkcja nie jest homograficzna.

a) Ponieważ

$$4x+9=4(x+3)-3,$$

to

$$f(x)=-\frac3{x+3}+4.$$

b) Mamy

$$\frac13x-5=\frac13(x+3)-6,$$

zatem

$$f(x)=-\frac6{x+3}+\frac13.$$

c) Licznik rozkładamy następująco:

$$\frac12-\frac16x=-\frac16(x+3)+1.$$

Stąd

$$f(x)=\frac1{x+3}-\frac16.$$

a) Z warunku

$$x+y=xy$$

otrzymujemy

$$xy-y=x,\qquad y(x-1)=x.$$

Dla $x=1$ pierwotne równanie nie ma rozwiązania, a dla $x\neq1$:

$$y=\frac{x}{x-1}=1+\frac1{x-1}.$$

Wykres jest hiperbolą o asymptotach $x=1$ i $y=1$, przechodzącą między innymi przez $(0,0)$ i $(2,2)$.

b) Pole prostokąta daje równanie

$$xy=2(x+y).$$

Przekształcamy:

$$xy-2y=2x,\qquad y(x-2)=2x,$$

więc

$$y=\frac{2x}{x-2}=2+\frac4{x-2}.$$

Boki prostokąta muszą być dodatnie. Dla $0<x<2$ wartość $y$ jest ujemna, natomiast dla $x>2$ jest dodatnia. Dziedziną w kontekście zadania jest zatem

$$D=(2,\infty).$$

Rysujemy tylko prawą gałąź hiperboli; leży ona dla $x>2$ i $y>2$.