NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 127 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie wydzielamy w liczniku wielokrotność mianownika:

a)

2x+8=2(x+3)+2, \qquad f(x)=\frac{2}{x+3}+2.

Asymptoty: $x=-3$ i $y=2$ .

b)

-3x+10=-3(x-3)+1, \qquad f(x)=\frac{1}{x-3}-3.

Asymptoty: $x=3$ i $y=-3$ .

c)

4x+6=4(x+2)-2, \qquad f(x)=-\frac{2}{x+2}+4.

Asymptoty: $x=-2$ i $y=4$ .

d)

-2x+3=-2(x-4)-5, \qquad f(x)=-\frac{5}{x-4}-2.

Asymptoty: $x=4$ i $y=-2$ .

e)

\frac12x+2=\frac12(x+3)+\frac12, \qquad f(x)=\frac{\frac12}{x+3}+\frac12.

Asymptoty: $x=-3$ i $y=\frac12$ .

f) Ponieważ $2x+1=2\left(x+\frac12\right)$ ,

4x=2(2x+1)-2, \qquad f(x)=-\frac{1}{x+\frac12}+2.

Asymptoty: $x=-\frac12$ i $y=2$ .

Odpowiedź

a) $f(x)=\frac{2}{x+3}+2$ ; asymptoty $x=-3$ , $y=2$ .
b) $f(x)=\frac{1}{x-3}-3$ ; asymptoty $x=3$ , $y=-3$ .
c) $f(x)=-\frac{2}{x+2}+4$ ; asymptoty $x=-2$ , $y=4$ .
d) $f(x)=-\frac{5}{x-4}-2$ ; asymptoty $x=4$ , $y=-2$ .
e) $f(x)=\frac{\frac12}{x+3}+\frac12$ ; asymptoty $x=-3$ , $y=\frac12$ .
f) $f(x)=-\frac{1}{x+\frac12}+2$ ; asymptoty $x=-\frac12$ , $y=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przedstawiamy funkcje w postaci kanonicznej:

	Postać kanoniczna	Dziedzina	Zbiór wartości	Punkty kontrolne
a)	$f(x)=\dfrac{1}{x-4}+1$	$\mathbb R\setminus\{4\}$	$\mathbb R\setminus\{1\}$	$(3,0)$ , $(5,2)$
b)	$f(x)=-\dfrac{1}{x-1}+2$	$\mathbb R\setminus\{1\}$	$\mathbb R\setminus\{2\}$	$(0,3)$ , $(2,1)$
c)	$f(x)=-\dfrac{3}{x+2}-4$	$\mathbb R\setminus\{-2\}$	$\mathbb R\setminus\{-4\}$	$(-3,-1)$ , $(-1,-7)$

Asymptoty są wyznaczone przez liczby wyłączone odpowiednio z dziedziny i zbioru wartości. W a) współczynnik przy ułamku jest dodatni, a w b) i c) ujemny; określa to położenie gałęzi względem środka.

Odpowiedź

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{4\}$ , $f(D_f)=\mathbb R\setminus\{1\}$ .
b) $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ , $f(D_f)=\mathbb R\setminus\{2\}$ .
c) $D_f=\mathbb R\setminus\{-2\}$ , $f(D_f)=\mathbb R\setminus\{-4\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Znaki mogą zmieniać się tylko w miejscach zerowych liczników i mianowników.

a) Miejsce zerowe to $x=4$ , a $x=5$ nie należy do dziedziny.

Przedział	$(-\infty,4)$	$(4,5)$	$(5,\infty)$
Znak $f(x)$	$+$	$-$	$+$

b) Miejsce zerowe to $x=-2$ , a $x=-3$ jest wyłączone.

Przedział	$(-\infty,-3)$	$(-3,-2)$	$(-2,\infty)$
Znak $f(x)$	$+$	$-$	$+$

c) Miejsce zerowe to $x=0$ , a $x=-1$ jest wyłączone.

Przedział	$(-\infty,-1)$	$(-1,0)$	$(0,\infty)$
Znak $f(x)$	$-$	$+$	$-$

W punktach $4$ , $-2$ i $0$ wartości są równe zeru, więc nie należą one do zbiorów argumentów, dla których funkcja jest dodatnia lub ujemna.

Odpowiedź

a) $f(x)>0$ dla $x\in(-\infty,4)\cup(5,\infty)$ , a $f(x)<0$ dla $x\in(4,5)$ .
b) $f(x)>0$ dla $x\in(-\infty,-3)\cup(-2,\infty)$ , a $f(x)<0$ dla $x\in(-3,-2)$ .
c) $f(x)>0$ dla $x\in(-1,0)$ , a $f(x)<0$ dla $x\in(-\infty,-1)\cup(0,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wykres funkcji

f(x)=\frac{r}{x-p}+q

jest hiperbolą o asymptotach $x=p$ i $y=q$ . Gdy $r>0$ , jej gałęzie leżą nad prawą i pod lewą stroną środka $(p,q)$ ; gdy $r<0$ — odwrotnie.

Przekształcamy wzory i dobieramy punkty kontrolne:

	Postać kanoniczna	Asymptoty	Punkty kontrolne
a)	$f(x)=\dfrac{1}{x+1}-2$	$x=-1$ , $y=-2$	$(-2,-3)$ , $(0,-1)$
b)	$f(x)=\dfrac{3}{x-1}+2$	$x=1$ , $y=2$	$(0,-1)$ , $(2,5)$
c)	$f(x)=-\dfrac{1}{x+3}+2$	$x=-3$ , $y=2$	$(-4,3)$ , $(-2,1)$
d)	$f(x)=-\dfrac{2}{x-3}-1$	$x=3$ , $y=-1$	$(2,1)$ , $(4,-3)$
e)	$f(x)=\dfrac{2}{x+4}-3$	$x=-4$ , $y=-3$	$(-5,-5)$ , $(-3,-1)$
f)	$f(x)=\dfrac{8}{x-2}+3$	$x=2$ , $y=3$	$(0,-1)$ , $(4,7)$

Na każdym szkicu prowadzimy najpierw asymptoty, zaznaczamy środek ich przecięcia i punkty kontrolne, a następnie rysujemy gałęzie zbliżające się do obu asymptot.

Odpowiedź

a) $x=-1$ , $y=-2$ ;
b) $x=1$ , $y=2$ ;
c) $x=-3$ , $y=2$ ;
d) $x=3$ , $y=-1$ ;
e) $x=-4$ , $y=-3$ ;
f) $x=2$ , $y=3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla funkcji

f(x)=\frac{r}{x-p}+q

mamy

f'(x)=-\frac{r}{(x-p)^2}.

Ponieważ mianownik jest dodatni w dziedzinie, funkcja maleje dla $r>0$ , a rośnie dla $r<0$ .

	Postać kanoniczna	Znak $r$	Monotoniczność
a)	$f(x)=\dfrac{1}{x-4}+3$	$+$	maleje na $(-\infty,4)$ i $(4,\infty)$
b)	$f(x)=-\dfrac{1}{x+1}-4$	$-$	rośnie na $(-\infty,-1)$ i $(-1,\infty)$
c)	$f(x)=-\dfrac{1}{x+2}-2$	$-$	rośnie na $(-\infty,-2)$ i $(-2,\infty)$
d)	$f(x)=-\dfrac{2}{x-2}-4$	$-$	rośnie na $(-\infty,2)$ i $(2,\infty)$
e)	$f(x)=-\dfrac{2}{x-2}+3$	$-$	rośnie na $(-\infty,2)$ i $(2,\infty)$
f)	$f(x)=\dfrac{1}{x-\frac12}-4$	$+$	maleje na $(-\infty,\frac12)$ i $(\frac12,\infty)$

Odpowiedź

a) maleje na $(-\infty,4)$ i $(4,\infty)$ .
b) rośnie na $(-\infty,-1)$ i $(-1,\infty)$ .
c) rośnie na $(-\infty,-2)$ i $(-2,\infty)$ .
d) rośnie na $(-\infty,2)$ i $(2,\infty)$ .
e) rośnie na $(-\infty,2)$ i $(2,\infty)$ .
f) maleje na $(-\infty,\frac12)$ i $(\frac12,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Warunek $P(-3,2)$ oznacza $f(-3)=2$ :

\frac{4(-3)+m}{-3(-3)-1}=2,

czyli

\frac{-12+m}{8}=2,\qquad m=28.

Dla $m=28$ asymptota pionowa spełnia $-3x-1=0$ , więc $x=-\frac13$ . Asymptotą poziomą jest iloraz współczynników wiodących:

y=\frac4{-3}=-\frac43.

b) Z warunku $f(-4)=1$ :

\frac{-4m-3}{2(-4)+4}=1,

więc

\frac{-4m-3}{-4}=1,\qquad m=\frac14.

Asymptota pionowa ma równanie $2x+4=0$ , czyli $x=-2$ , a pozioma:

y=\frac{m}{2}=\frac18.

Odpowiedź

a) $m=28$ ; asymptoty $x=-\frac13$ , $y=-\frac43$ .
b) $m=\frac14$ ; asymptoty $x=-2$ , $y=\frac18$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla dowolnych $p,q\in\mathbb R$ funkcja

f(x)=\frac{1}{x-p}+q

ma dziedzinę $\mathbb R\setminus\{p\}$ i zbiór wartości $\mathbb R\setminus\{q\}$ . Wystarczy więc wstawić podane liczby:

a) $f(x)=\frac1x+1$ .
b) $f(x)=\frac1x-5$ .
c) $f(x)=\frac1{x-1}+4$ .
d) $f(x)=\frac1{x+7}$ .
e) $f(x)=\frac1{x-7}-3$ .
f) $f(x)=\frac1{x-\sqrt2}+\sqrt2$ .

W każdym przypadku licznik części ułamkowej jest niezerowy, więc wartość $q$ nie jest przyjmowana.

Odpowiedź

Przykładowe funkcje to:

a) $\frac1x+1$ ;
b) $\frac1x-5$ ;
c) $\frac1{x-1}+4$ ;
d) $\frac1{x+7}$ ;
e) $\frac1{x-7}-3$ ;
f) $\frac1{x-\sqrt2}+\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Mianownik zeruje się dla

3x+6=0,\qquad x=-2,

więc jest to asymptota pionowa. Iloraz współczynników przy $x$ wynosi

\frac{-6}{3}=-2,

zatem asymptota pozioma ma równanie $y=-2$ .

b) Dla asymptoty pionowej:

\frac12x-4=0,\qquad x=8.

Asymptota pozioma ma równanie

y=\frac{10}{\frac12}=20.

Odpowiedź

a) $x=-2$ , $y=-2$ .
b) $x=8$ , $y=20$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem