Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 126

rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „R 3.3. Funkcja homograficzna” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Wyodrębniamy mianownik w liczniku:

f(x)=x+3x+4=(x+4)−1x+4=−1x+4+1.\begin{aligned} f(x)&=\frac{x+3}{x+4} =\frac{(x+4)-1}{x+4}\\ &=-\frac1{x+4}+1. \end{aligned}

Dziedzina to R∖{−4}\mathbb R\setminus\{-4\}, a asymptoty mają równania x=−4x=-4, y=1y=1.

b)

f(x)=x−5x−4=(x−4)−1x−4=−1x−4+1.\begin{aligned} f(x)&=\frac{x-5}{x-4} =\frac{(x-4)-1}{x-4}\\ &=-\frac1{x-4}+1. \end{aligned}

Zatem Df=R∖{4}D_f=\mathbb R\setminus\{4\}, a asymptoty to x=4x=4, y=1y=1.

c)

f(x)=x+1x+3=(x+3)−2x+3=−2x+3+1.\begin{aligned} f(x)&=\frac{x+1}{x+3} =\frac{(x+3)-2}{x+3}\\ &=-\frac2{x+3}+1. \end{aligned}

Otrzymujemy Df=R∖{−3}D_f=\mathbb R\setminus\{-3\} oraz asymptoty x=−3x=-3, y=1y=1.

Odpowiedź

a) f(x)=−1x+4+1f(x)=-\frac1{x+4}+1, Df=R∖{−4}D_f=\mathbb R\setminus\{-4\};
b) f(x)=−1x−4+1f(x)=-\frac1{x-4}+1, Df=R∖{4}D_f=\mathbb R\setminus\{4\};
c) f(x)=−2x+3+1f(x)=-\frac2{x+3}+1, Df=R∖{−3}D_f=\mathbb R\setminus\{-3\}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 3

6 podpunktów

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Porównujemy licznik z podaną wielokrotnością mianownika.

a)

3x+4=3(x+1)+1,3x+4=3(x+1)+1,

więc wstawiamy 11 i otrzymujemy

3x+4x+1=3+1x+1.\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac1{x+1}.

b)

3x+2=3(x+1)−1,3x+2=3(x+1)-1,

zatem liczba w ramce to 11, a postać kanoniczna:

3x+2x+1=3−1x+1.\frac{3x+2}{x+1}=3-\frac1{x+1}.

c)

−2x+8=−2(x−3)+2.-2x+8=-2(x-3)+2.

Wstawiamy 22:

−2x+8x−3=−2+2x−3.\frac{-2x+8}{x-3}=-2+\frac2{x-3}.

d)

−2x+5=−2(x−3)−1.-2x+5=-2(x-3)-1.

Liczba w ramce to 11, a

−2x+5x−3=−2−1x−3.\frac{-2x+5}{x-3}=-2-\frac1{x-3}.

e)

4x+9=4(x+2)+1,4x+9=4(x+2)+1,

więc wstawiamy 11 i mamy

4x+9x+2=4+1x+2.\frac{4x+9}{x+2}=4+\frac1{x+2}.

f)

4x−3=4(x+2)−11.4x-3=4(x+2)-11.

Wstawiamy 1111, stąd

4x−3x+2=4−11x+2.\frac{4x-3}{x+2}=4-\frac{11}{x+2}.
Odpowiedź

a) 11, 3x+4x+1=3+1x+1\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac1{x+1};
b) 11, 3x+2x+1=3−1x+1\frac{3x+2}{x+1}=3-\frac1{x+1};
c) 22, −2x+8x−3=−2+2x−3\frac{-2x+8}{x-3}=-2+\frac2{x-3};
d) 11, −2x+5x−3=−2−1x−3\frac{-2x+5}{x-3}=-2-\frac1{x-3};
e) 11, 4x+9x+2=4+1x+2\frac{4x+9}{x+2}=4+\frac1{x+2};
f) 1111, 4x−3x+2=4−11x+2\frac{4x-3}{x+2}=4-\frac{11}{x+2}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu