NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 124

Po przesunięciu wykresu $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$ otrzymujemy funkcję $g(x)=f(x-p)+q$.

a) Dla wektora $[1,4]$:

$$g(x)=\frac1{x-1}+4.$$

Zatem

$$D_g=\mathbb R\setminus\{1\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{4\},$$

a asymptoty to $x=1$, $y=4$.

b) Dla wektora $[-2,-1]$:

$$g(x)=\frac2{x+2}-1.$$

Stąd

$$D_g=\mathbb R\setminus\{-2\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{-1\},$$

oraz asymptoty $x=-2$, $y=-1$.

c) Dla wektora $[-1,3]$:

$$g(x)=-\frac1{x+1}+3.$$

Otrzymujemy

$$D_g=\mathbb R\setminus\{-1\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{3\},$$

a asymptoty mają równania $x=-1$, $y=3$.

d) Dla wektora $[2,-4]$:

$$g(x)=-\frac2{x-2}-4.$$

Zatem

$$D_g=\mathbb R\setminus\{2\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{-4\},$$

oraz asymptoty $x=2$, $y=-4$.

Jeżeli punkt $(x,y)$ ma obie współrzędne całkowite, to mianownik jest niezerową liczbą całkowitą dzielącą licznik ułamka.

a) Liczba $x-1$ musi być jednym z dzielników liczby $4$:

$$x-1\in\{-4,-2,-1,1,2,4\}.$$

Otrzymujemy sześć punktów:

$$(-3,-4),\ (-1,-5),\ (0,-7),\ (2,1),\ (3,-1),\ (5,-2).$$

b) Mianownik $x+3$ musi dzielić $2$, więc

$$x+3\in\{-2,-1,1,2\}.$$

Punkty całkowite to

$$(-5,-2),\ (-4,-3),\ (-2,1),\ (-1,0),$$

czyli są cztery.

c) Mianownik $x+2$ musi dzielić liczbę $-1$. Dla $x+2=-1$ lub $x+2=1$ otrzymujemy punkty

$$(-3,-1),\qquad(-1,-3).$$

Są więc dwa takie punkty.

d) Tutaj mianownikiem jest $4-x$, który musi być dzielnikiem liczby $2$:

$$4-x\in\{-2,-1,1,2\}.$$

Otrzymujemy cztery punkty:

$$(6,1),\ (5,0),\ (3,4),\ (2,3).$$

Hiperbola o asymptotach $x=p$, $y=q$ ma równanie

$$y=\frac{a}{x-p}+q.$$

Współczynnik $a$ wyznaczamy z podanego punktu.

a) Mamy $p=-1$, $q=2$ i punkt $\left(3,\frac52\right)$:

$$\frac52=\frac a{3+1}+2,$$ $$\frac12=\frac a4,\qquad a=2.$$

Zatem

$$y=\frac2{x+1}+2.$$

b) Tutaj $p=3$, $q=-1$, a punkt to $\left(1,-\frac74\right)$:

$$-\frac74=\frac a{1-3}-1.$$

Stąd

$$-\frac34=-\frac a2,\qquad a=\frac32,$$

więc

$$y=\frac3{2(x-3)}-1.$$

c) Dla $p=2$, $q=1$ i punktu $\left(4,\frac56\right)$:

$$\frac56=\frac a{4-2}+1,$$ $$-\frac16=\frac a2,\qquad a=-\frac13.$$

Zatem

$$y=-\frac1{3(x-2)}+1.$$

d) Mamy $p=-1$, $q=-2$ i punkt $\left(-3,-\frac43\right)$:

$$-\frac43=\frac a{-3+1}-2.$$

Zatem

$$\frac23=-\frac a2,\qquad a=-\frac43,$$

czyli

$$y=-\frac4{3(x+1)}-2.$$

Po przesunięciu o wektor $[p,q]$ funkcja ma postać

$$g(x)=\frac{a}{x-p}+q.$$

Wyznaczamy $a$ z warunku, że punkt $P$ należy do wykresu.

a)

$$g(x)=\frac a{x-2}-9.$$

Dla $P(6,-8)$:

$$-8=\frac a4-9,\qquad a=4.$$

Zatem $g(x)=\frac4{x-2}-9$.

b)

$$g(x)=\frac a{x-\frac12}+5.$$

Podstawiamy $P\left(\frac13,1\right)$:

$$1=\frac a{\frac13-\frac12}+5 =\frac a{-\frac16}+5.$$

Stąd $-4=-6a$, więc $a=\frac23$ i

$$g(x)=\frac2{3\left(x-\frac12\right)}+5.$$

c)

$$g(x)=\frac a{x-3}-\frac34.$$

Dla $P(-2,-1)$:

$$-1=\frac a{-5}-\frac34,$$ $$-\frac14=-\frac a5,\qquad a=\frac54.$$

Zatem

$$g(x)=\frac5{4(x-3)}-\frac34.$$

d)

$$g(x)=\frac a{x+\sqrt2}-6.$$

Warunek $P(1,-3\sqrt2)$ daje

$$-3\sqrt2=\frac a{1+\sqrt2}-6,$$

czyli

$$a=(1+\sqrt2)(6-3\sqrt2)=3\sqrt2.$$

Ostatecznie

$$g(x)=\frac{3\sqrt2}{x+\sqrt2}-6.$$

Dla hiperboli

$$y=\frac a{x-p}+q$$

środkiem symetrii jest $S(p,q)$, a osie symetrii mają równania

$$y-q=x-p,\qquad y-q=-(x-p).$$

a) $p=0$, $q=-6$, więc

$$y=x-6,\qquad y=-x-6,\qquad S(0,-6).$$

b) $p=4$, $q=1$, stąd

$$y=x-3,\qquad y=-x+5,\qquad S(4,1).$$

c) $p=-1$, $q=3$, zatem

$$y=x+4,\qquad y=-x+2,\qquad S(-1,3).$$

d) $p=7$, $q=8$, więc

$$y=x+1,\qquad y=-x+15,\qquad S(7,8).$$

Hiperbola $y=\frac ax$ ma środek $(0,0)$ i osie symetrii $y=x$, $y=-x$. Przesunięcie o wektor $[p,q]$ przenosi środek do $S(p,q)$ oraz przesuwa obie proste o ten sam wektor.

Pierwsza oś ma więc równanie

$$y-q=x-p,$$

czyli $y=x-p+q$. Druga:

$$y-q=-(x-p),$$

czyli $y=-x+p+q$.