NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 123

Przesunięcie o wektor $[p,q]$ zmienia wzór $f(x)$ na $g(x)=f(x-p)+q$.

a) Przesunięcie o $3$ jednostki w dół ma wektor $[0,-3]$:

$$g(x)=\frac1x-3.$$

Stąd

$$D_g=\mathbb R\setminus\{0\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{-3\},$$

a asymptoty to $x=0$, $y=-3$.

b) Przesunięcie o $3$ jednostki w lewo ma wektor $[-3,0]$:

$$g(x)=\frac4{x+3}.$$

Zatem

$$D_g=\mathbb R\setminus\{-3\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{0\},$$

a asymptoty mają równania $x=-3$, $y=0$.

c) Przesuwamy wykres o wektor $[0,2]$:

$$g(x)=-\frac2x+2.$$

Otrzymujemy

$$D_g=\mathbb R\setminus\{0\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{2\},$$

oraz asymptoty $x=0$, $y=2$.

d) Przesunięcie o $2$ jednostki w prawo ma wektor $[2,0]$:

$$g(x)=-\frac1{x-2}.$$

Stąd

$$D_g=\mathbb R\setminus\{2\},\qquad g(D_g)=\mathbb R\setminus\{0\},$$

a asymptoty to $x=2$, $y=0$.

a) Punkt $P(3,3)$ należy do wykresu, więc

$$3=f(3)=\frac a{3-2}=a.$$

Zatem $a=3$ i

$$f\left(1\frac34\right) =f\left(\frac74\right) =\frac3{\frac74-2} =\frac3{-\frac14}=-12,$$ $$f(-4)=\frac3{-4-2}=-\frac12.$$

b) Dla punktu $P(4,-1)$:

$$-1=f(4)=\frac a{4-2}=\frac a2,$$

więc $a=-2$. Wtedy

$$f\left(\frac74\right) =\frac{-2}{\frac74-2} =\frac{-2}{-\frac14}=8,$$ $$f(-4)=\frac{-2}{-4-2}=\frac13.$$

Wykres funkcji

$$f(x)=\frac{a}{x-p}+q$$

ma asymptoty $x=p$, $y=q$, dziedzinę $\mathbb R\setminus\{p\}$ i zbiór wartości $\mathbb R\setminus\{q\}$.

a) We wzorze

$$f(x)=\frac1{x-(-2)}-3$$

mamy $p=-2$, $q=-3$. Zatem

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-2\},\qquad f(D_f)=\mathbb R\setminus\{-3\},$$

a asymptoty mają równania $x=-2$ oraz $y=-3$.

b) Tutaj $p=1$, $q=2$, więc

$$D_f=\mathbb R\setminus\{1\},\qquad f(D_f)=\mathbb R\setminus\{2\},$$

a asymptoty to $x=1$ i $y=2$.

c) Tutaj $p=-1$, $q=3$. Otrzymujemy

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-1\},\qquad f(D_f)=\mathbb R\setminus\{3\},$$

oraz asymptoty $x=-1$, $y=3$.

Szkice powstają przez przesunięcie odpowiednio wykresów $y=\frac1x$, $y=-\frac1x$ i $y=\frac2x$ do środków wyznaczonych przez pary asymptot.

Jeżeli $g(x)=f(x-p)+q$, to wykres $f$ przesunięto o wektor $[p,q]$.

a)

$$g(x)=\frac3{x-4}-6=f(x-4)-6,$$

więc wektor ma postać $[4,-6]$.

b)

$$g(x)=-\frac5{x+2}+2=f(x+2)+2=f(x-(-2))+2,$$

zatem jest to wektor $[-2,2]$.

c) Przekształcamy mianownik:

$$g(x)=-3+\frac1{2(x-2)}=f(x-2)-3.$$

Wektor przesunięcia to $[2,-3]$.

d) Mamy

$$\frac1{9-3x}=-\frac1{3(x-3)},$$

czyli

$$g(x)=-\frac1{3(x-3)}+1=f(x-3)+1.$$

Wektor wynosi $[3,1]$.

Przesunięcie o wektor $[u,v]$ przesuwa obie asymptoty odpowiednio o $u$ w poziomie i o $v$ w pionie.

a) Funkcja $f(x)=\frac4x+2$ ma asymptoty $x=0$, $y=2$. Aby otrzymać asymptoty $x=3$, $y=-6$, potrzebujemy przesunięcia

$$[3-0,-6-2]=[3,-8].$$

b) Funkcja

$$f(x)=-\frac2{x+3}-\frac53$$

ma asymptoty $x=-3$ i $y=-\frac53$. Różnice położeń wynoszą

$$-2-(-3)=1,$$ $$-\frac12-\left(-\frac53\right) =-\frac12+\frac53=\frac76.$$

Szukany wektor to $\left[1,\frac76\right]$.

Przesunięcie wykresu $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$ daje wykres

$$y=f(x-p)+q.$$

Dla $f(x)=\frac ax$ otrzymujemy więc

$$g(x)=\frac{a}{x-p}+q.$$

Mianownik zeruje się dla $x=p$, co wyznacza asymptotę pionową. Pozioma asymptota ma równanie $y=q$.