NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 122

Funkcja postaci

$$f(x)=\frac{a}{x-p}$$

ma asymptotę pionową $x=p$, asymptotę poziomą $y=0$ i dziedzinę $\mathbb R\setminus\{p\}$. Punkt przecięcia z osią $OY$ otrzymujemy, podstawiając $x=0$.

a) Tutaj $p=-1$. Zatem

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-1\},\qquad x=-1,\qquad y=0.$$

Ponadto

$$f(0)=-\frac1{0+1}=-1,$$

więc wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,-1)$.

b) Mamy $p=-2$, więc

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-2\},\qquad x=-2,\qquad y=0,$$

a

$$f(0)=\frac3{0+2}=\frac32.$$

Punkt przecięcia z osią $OY$ to $\left(0,\frac32\right)$.

c) Mamy $p=-4$, zatem

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-4\},\qquad x=-4,\qquad y=0.$$

Ponieważ $f(0)=1$, wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,1)$.

d) Mamy $p=-3$, więc

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-3\},\qquad x=-3,\qquad y=0.$$

Ponadto

$$f(0)=-\frac2{0+3}=-\frac23,$$

czyli punkt przecięcia z osią $OY$ to $\left(0,-\frac23\right)$.

Szkice wyznaczamy, rysując podane asymptoty i odpowiednie gałęzie hiperbol przechodzące przez obliczone punkty.