NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 121

Wykres funkcji

$$f(x)=\frac ax+q$$

powstaje przez przesunięcie hiperboli $y=\frac ax$ o wektor $[0,q]$. Asymptotami są $x=0$ i $y=q$, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości poza $q$. Do każdego szkicu wyznaczamy dodatkowo dwa punkty kontrolne.

a) $q=3$. Punkty: $(1,4)$ i $(-1,2)$.

$$f(D)=\mathbb R\setminus\{3\},\qquad x=0,\quad y=3.$$

b) $q=-1$. Punkty: $(1,0)$ i $(-1,-2)$.

$$f(D)=\mathbb R\setminus\{-1\},\qquad x=0,\quad y=-1.$$

c) $q=-3$. Punkty: $(1,1)$ i $(-1,-7)$.

$$f(D)=\mathbb R\setminus\{-3\},\qquad x=0,\quad y=-3.$$

d) $q=2$. Punkty: $(1,1)$ i $(-1,3)$.

$$f(D)=\mathbb R\setminus\{2\},\qquad x=0,\quad y=2.$$

e) $q=1$. Punkty: $(1,-2)$ i $(-1,4)$.

$$f(D)=\mathbb R\setminus\{1\},\qquad x=0,\quad y=1.$$

f) $q=-4$. Punkty: $\left(1,-\frac92\right)$ i $\left(-1,-\frac72\right)$.

$$f(D)=\mathbb R\setminus\{-4\},\qquad x=0,\quad y=-4.$$

Funkcja $f(x)=\frac a{x-p}$ ma dziedzinę $\mathbb R\setminus\{p\}$ oraz asymptoty $x=p$ i $y=0$. Przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OX$ nie zmienia monotoniczności: dla $a>0$ funkcja jest malejąca na obu składowych dziedziny, a dla $a<0$ — rosnąca.

a) Tutaj $a=1$ i $p=2$. Do szkicu można użyć punktów $(3,1)$ oraz $(1,-1)$. Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{2\}$, asymptoty mają równania $x=2$, $y=0$, a funkcja maleje w $(-\infty;2)$ i $(2;\infty)$.

b) Mamy $a=2$ i $p=4$; przykładowe punkty to $(5,2)$ oraz $(3,-2)$. Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{4\}$, asymptoty to $x=4$, $y=0$, a funkcja maleje w $(-\infty;4)$ i $(4;\infty)$.

c) Mamy $a=-1$ i $p=1$; wykres przechodzi między innymi przez $(2,-1)$ oraz $(0,1)$. Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{1\}$, asymptoty to $x=1$, $y=0$, a funkcja rośnie w $(-\infty;1)$ i $(1;\infty)$.

d) Tutaj $a=-2$ i $p=2$; punkty kontrolne to $(3,-2)$ oraz $(1,2)$. Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{2\}$, asymptoty mają równania $x=2$, $y=0$, a funkcja rośnie w $(-\infty;2)$ i $(2;\infty)$.