NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 120

Na dodatniej półosi funkcja $\frac ax$ jest malejąca dla $a>0$ i rosnąca dla $a<0$. Wartości skrajne na $[1;2]$ są więc osiągane na końcach tego przedziału.

a)

$$f(1)=6,\qquad f(2)=3.$$

Funkcja maleje, zatem jej wartość najmniejsza to $3$, a największa $6$.

b)

$$f(1)=-4,\qquad f(2)=-2.$$

Funkcja rośnie, więc wartość najmniejsza wynosi $-4$, a największa $-2$.

c)

$$f(1)=\frac12,\qquad f(2)=\frac14.$$

Funkcja maleje, zatem wartość najmniejsza to $\frac14$, a największa $\frac12$.

d)

$$f(1)=-5,\qquad f(2)=-\frac52.$$

Funkcja rośnie, więc wartość najmniejsza wynosi $-5$, a największa $-\frac52$.

Do każdego szkicu wystarczy zaznaczyć asymptoty $x=0$, $y=0$, odpowiednie gałęzie hiperboli i wyróżniony fragment dla $1\leqslant x\leqslant2$.

Funkcja $f(x)=\frac4x$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty;0)$ oraz $(0;\infty)$.

a) Na przedziale $[2;8]$ wartości końcowe są równe

$$f(2)=2,\qquad f(8)=\frac12.$$

Oba końce należą do dziedziny, więc

$$f(D)=\left[\frac12;2\right].$$

b) Dla $x\in(-2;0)$ funkcja przyjmuje wartości mniejsze od $-2$, a dla $x\in(0;2)$ — wartości większe od $2$. Końce $-2$, $0$ i $2$ nie należą do dziedziny, zatem

$$f(D)=(-\infty;-2)\cup(2;\infty).$$

c) Dla $x\in(-\infty;-2]$ otrzymujemy wartości od $-2$ włącznie do $0$ bez zera. Dla $x\in[1;\infty)$ otrzymujemy wartości dodatnie nie większe niż $4$. Stąd

$$f(D)=[-2;0)\cup(0;4].$$

Jeżeli punkt $P(x_0,y_0)$ należy do wykresu $y=\frac ax$, to $a=x_0y_0$. Następnie podstawiamy otrzymane $a$ oraz $x=-2\sqrt2$.

a)

$$a=(-1)\cdot8=-8,$$ $$f(-2\sqrt2)=\frac{-8}{-2\sqrt2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.$$

b)

$$a=\frac12\cdot(-32)=-16,$$ $$f(-2\sqrt2)=\frac{-16}{-2\sqrt2}=\frac8{\sqrt2}=4\sqrt2.$$

c) Ponieważ $3\frac12=\frac72$, mamy

$$a=(-4)\cdot\frac72=-14,$$ $$f(-2\sqrt2)=\frac{-14}{-2\sqrt2}=\frac7{\sqrt2} =\frac{7\sqrt2}{2}.$$

d)

$$a=\left(-\frac12\right)\left(-\frac12\right)=\frac14,$$ $$f(-2\sqrt2)=\frac{\frac14}{-2\sqrt2} =-\frac1{8\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{16}.$$

Z odczytanego punktu wyznaczamy współczynnik ze wzoru $a=xy$.

a) Na wykresie zaznaczono punkt $(3,-1)$, więc

$$a=3\cdot(-1)=-3,\qquad f(x)=-\frac3x.$$

Punkt przecięcia z prostą $y=-3$ spełnia równanie

$$-\frac3x=-3,$$

stąd $x=1$ i $P=(1,-3)$. Rozwiązujemy jeszcze nierówność

$$-\frac3x>-3 \iff \frac{x-1}{x}>0.$$

Iloraz jest dodatni dla $x<0$ lub $x>1$.

b) Zaznaczony punkt ma współrzędne $(-2,3)$, zatem

$$a=(-2)\cdot3=-6,\qquad f(x)=-\frac6x.$$

Dla przecięcia z $y=-3$ otrzymujemy

$$-\frac6x=-3,$$

czyli $x=2$ i $P=(2,-3)$. Ponadto

$$-\frac6x>-3 \iff \frac{x-2}{x}>0,$$

co zachodzi dla $x<0$ lub $x>2$.

Najpierw dla każdego punktu obliczamy $a=xy$.

a)

$$a=(2\sqrt2+2)(\sqrt2-1) =2(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=2.$$

Funkcja $f(x)=\frac2x$ jest malejąca na obu składowych dziedziny. Jej wartości na końcach rozważanych przedziałów są równe

$$f(-4)=-\frac12,\quad f(-1)=-2,\quad f(2)=1,\quad f(6)=\frac13.$$

Zatem wartość najmniejsza wynosi $-2$, a największa $1$.

b)

$$a=(1-\sqrt5)(1+\sqrt5)=1-5=-4.$$

Funkcja $f(x)=-\frac4x$ jest rosnąca na obu składowych. Mamy

$$f(-4)=1,\quad f(-1)=4,\quad f(2)=-2,\quad f(6)=-\frac23.$$

Wartość najmniejsza to $-2$, a największa $4$.

c) Ponieważ $\sqrt{24}=2\sqrt6$, pierwsza współrzędna punktu jest równa $-\sqrt6$. Stąd

$$a=(-\sqrt6)\cdot\sqrt6=-6.$$

Dla $f(x)=-\frac6x$ otrzymujemy

$$f(-4)=\frac32,\quad f(-1)=6,\quad f(2)=-3,\quad f(6)=-1.$$

Wartość najmniejsza wynosi $-3$, a największa $6$.

W punkcie przecięcia obie wartości $y$ są równe, więc

$$2x=\frac2x,\qquad x\neq0.$$

Po pomnożeniu przez $x$ otrzymujemy $2x^2=2$, czyli $x=-1$ lub $x=1$. Odpowiadające punkty to

$$P_1=(-1,-2),\qquad P_2=(1,2).$$

Ich odległość wynosi

$$|P_1P_2|=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-(-2))^2} =\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5.$$

Współrzędne punktów przecięcia spełniają jednocześnie

$$y=x,\qquad y=\frac ax.$$

Stąd $x=\frac ax$, czyli $x^2=a$. Dwa punkty przecięcia istnieją dla $a>0$ i mają współrzędne

$$P_1=(\sqrt a,\sqrt a),\qquad P_2=(-\sqrt a,-\sqrt a).$$

Ich odległość jest równa

$$|P_1P_2|=\sqrt{(2\sqrt a)^2+(2\sqrt a)^2}=2\sqrt{2a}.$$

a)

$$2\sqrt{2a}=4\sqrt2 \iff \sqrt a=2 \iff a=4.$$

b)

$$2\sqrt{2a}=8 \iff \sqrt{2a}=4 \iff a=8.$$