Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 11

rozdział 1. Funkcja kwadratowa · temat „1.1. Równania kwadratowe – powtórzenie” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

9 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dla równania ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 obliczamy wyróżnik Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

a)

Δ=32−4⋅1⋅(−18)=81,\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-18)=81, x1=−3−92=−6,x2=−3+92=3.x_1=\frac{-3-9}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-3+9}{2}=3.

b)

Δ=32−4⋅2⋅(−2)=25,\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=25, x1=−3−54=−2,x2=−3+54=12.x_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.

c)

Δ=(−11)2−4⋅5⋅2=81,\Delta=(-11)^2-4\cdot5\cdot2=81, x1=11−910=15,x2=11+910=2.x_1=\frac{11-9}{10}=\frac15,\qquad x_2=\frac{11+9}{10}=2.

d)

Δ=(−12)2−4⋅4⋅9=0,\Delta=(-12)^2-4\cdot4\cdot9=0, x0=128=32.x_0=\frac{12}{8}=\frac32.

e)

Δ=32−4⋅1⋅(−2)=17,\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-2)=17, x1=−3−172,x2=−3+172.x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}2,\qquad x_2=\frac{-3+\sqrt{17}}2.

f)

Δ=42−4⋅2⋅(−1)=24,Δ=26,\Delta=4^2-4\cdot2\cdot(-1)=24, \qquad \sqrt\Delta=2\sqrt6, x1=−4−264=−2−62,x2=−4+264=−2+62.x_1=\frac{-4-2\sqrt6}{4}=\frac{-2-\sqrt6}{2},\qquad x_2=\frac{-4+2\sqrt6}{4}=\frac{-2+\sqrt6}{2}.

g)

Δ=(−5)2−4⋅2⋅4=−7<0.\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot4=-7<0.

Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

h)

Δ=(−2)2−4⋅3⋅(−12)=10,\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot\left(-\frac12\right)=10, x1=2−106,x2=2+106.x_1=\frac{2-\sqrt{10}}6,\qquad x_2=\frac{2+\sqrt{10}}6.

i)

Δ=(−32)2−4⋅1⋅4=2,\Delta=(-3\sqrt2)^2-4\cdot1\cdot4=2, x1=32−22=2,x2=32+22=22.x_1=\frac{3\sqrt2-\sqrt2}{2}=\sqrt2,\qquad x_2=\frac{3\sqrt2+\sqrt2}{2}=2\sqrt2.
Odpowiedź

a) x=−6x=-6 lub x=3x=3;
b) x=−2x=-2 lub x=12x=\frac12;
c) x=15x=\frac15 lub x=2x=2;
d) x=32x=\frac32;
e) x=−3−172x=\frac{-3-\sqrt{17}}2 lub x=−3+172x=\frac{-3+\sqrt{17}}2;
f) x=−2−62x=\frac{-2-\sqrt6}{2} lub x=−2+62x=\frac{-2+\sqrt6}{2};
g) brak rozwiązań w R\mathbb R;
h) x=2−106x=\frac{2-\sqrt{10}}6 lub x=2+106x=\frac{2+\sqrt{10}}6;
i) x=2x=\sqrt2 lub x=22x=2\sqrt2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

W każdym równaniu wyłączamy xx przed nawias. Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

a)

2x2−6x=0,2x^2-6x=0, 2x(x−3)=0,2x(x-3)=0, x=0lubx=3.x=0\quad\text{lub}\quad x=3.

b)

34x2−512x=0,\frac34x^2-\frac5{12}x=0, x(34x−512)=0,x\left(\frac34x-\frac5{12}\right)=0, x=0lub9x−5=0,x=0\quad\text{lub}\quad 9x-5=0, x=0lubx=59.x=0\quad\text{lub}\quad x=\frac59.

c)

3x+4x2=0,3x+4x^2=0, x(4x+3)=0,x(4x+3)=0, x=0lubx=−34.x=0\quad\text{lub}\quad x=-\frac34.

d)

−23x−6x2=0,-\frac23x-6x^2=0, −23x(1+9x)=0,-\frac23x(1+9x)=0, x=0lubx=−19.x=0\quad\text{lub}\quad x=-\frac19.

e)

5x=10x2,5x=10x^2, 10x2−5x=0,10x^2-5x=0, 5x(2x−1)=0,5x(2x-1)=0, x=0lubx=12.x=0\quad\text{lub}\quad x=\frac12.

f)

12x2−14x=23x2∣ ⋅12,\frac12x^2-\frac14x=\frac23x^2\quad |\,\cdot12, 6x2−3x=8x2,6x^2-3x=8x^2, −2x2−3x=0,-2x^2-3x=0, −x(2x+3)=0,-x(2x+3)=0, x=0lubx=−32.x=0\quad\text{lub}\quad x=-\frac32.
Odpowiedź

a) x=0x=0 lub x=3x=3;
b) x=0x=0 lub x=59x=\frac59;
c) x=−34x=-\frac34 lub x=0x=0;
d) x=−19x=-\frac19 lub x=0x=0;
e) x=0x=0 lub x=12x=\frac12;
f) x=−32x=-\frac32 lub x=0x=0.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem