NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 114

Dla $m=-1$ mamy $m^2=1$, zatem

$$w(x)=2x^3+x^2-6x+9.$$

Obliczamy pierwszą wartość:

$$\begin{aligned} w(-2) &=2(-2)^3+(-2)^2-6(-2)+9\\ &=-16+4+12+9=9. \end{aligned}$$

Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

Dla $x=-\frac32$:

$$\begin{aligned} w\left(-\frac32\right) &=2\left(-\frac32\right)^3+\left(-\frac32\right)^2 -6\left(-\frac32\right)+9\\ &=-\frac{27}{4}+\frac94+9+9\\ &=\frac{27}{2}>13. \end{aligned}$$

Drugie stwierdzenie również jest prawdziwe.

Rozpisujemy obie strony równania:

$$2x^3+m^2x^2-6x+9-6mx=m^2x^2-6mx+9.$$

Po odjęciu od obu stron wspólnych składników $m^2x^2-6mx+9$ zostaje

$$2x^3-6x=0.$$

Wyłączamy wspólny czynnik:

$$2x(x^2-3)=2x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=0.$$

Stąd

$$x=-\sqrt3,\qquad x=0,\qquad x=\sqrt3.$$

Wynik nie zależy od wartości parametru $m$.

Rozwijamy iloczyn:

$$\begin{aligned} w(x) &=(x^2+x+1)(x-3)+3\\ &=x^3-3x^2+x^2-3x+x-3+3\\ &=x^3-2x^2-2x. \end{aligned}$$

Jest to postać A.

Następnie

$$w(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-2(-1)=-1-2+2=-1,$$

czyli właściwy jest wariant 2.

Z rozwinięcia wielomianu:

$$w(x)=x^3-2x^2-2x.$$

Podstawiamy $x=\sqrt2$ i korzystamy z $(\sqrt2)^2=2$ oraz $(\sqrt2)^3=2\sqrt2$:

$$\begin{aligned} w(\sqrt2) &=2\sqrt2-2\cdot2-2\sqrt2\\ &=-4. \end{aligned}$$

Liczba $-4$ jest całkowita, co kończy uzasadnienie.

Dla $c=0$:

$$w(x)=x(x^2-4x)=x^2(x-4).$$

Pierwiastkami, czyli różnymi liczbami spełniającymi $w(x)=0$, są $0$ i $4$. Ich suma wynosi

$$0+4=4.$$

Dla $c=4$:

$$w(x)=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2.$$

Pierwiastkami są $0$ i $2$, więc ich suma wynosi

$$0+2=2.$$

Ponieważ $4>2$, suma pierwiastków dla $c=0$ jest większa.

Po podstawieniu $c=-12$:

$$\begin{aligned} w(x) &=x(x^2-4x-12)\\ &=x(x-6)(x+2). \end{aligned}$$

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy

$$x=0\quad\text{lub}\quad x=6\quad\text{lub}\quad x=-2.$$

Z poszczególnych czynników otrzymujemy cztery pierwiastki:

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac12,\qquad x_3=\frac13,\qquad x_4=\frac16.$$

Ich suma jest równa

$$0+\frac12+\frac13+\frac16 =\frac{3+2+1}{6}=1.$$

Średnia arytmetyczna czterech pierwiastków wynosi więc

$$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\frac14.$$