NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 115

Zapisujemy $0{,}75=\frac34$:

$$\frac34x^3+48=0.$$

Stąd

$$\frac34x^3=-48,$$

a po pomnożeniu obu stron przez $\frac43$:

$$x^3=-64.$$

Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest

$$x=-4.$$

Ponieważ $-4\in\mathbb Q$, rozwiązanie jest liczbą wymierną.

Z zasady iloczynu równego zeru pierwiastkami równania są

$$x_1=0,\qquad x_2=1,\qquad x_3=\frac9{16}.$$

Zatem

$$p=0+1+\frac9{16}=\frac{25}{16}.$$

Ponieważ pierwiastek oznacza wartość nieujemną,

$$\sqrt p=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac54.$$

Rozkładamy lewą stronę pierwszego równania:

$$x^2+x-12=(x+4)(x-3).$$

Jego pierwiastki to $-4$ i $3$.

W drugim równaniu:

$$(x+4)(x^2+8x)=(x+4)x(x+8),$$

więc pierwiastkami są $-4$, $0$ i $-8$.

Jedyną liczbą należącą do obu zbiorów pierwiastków jest $-4$.

Zerujemy kolejno wszystkie czynniki:

$$\begin{aligned} x&=0,\\ \frac23x+4=0&\quad\Longrightarrow\quad x=-6,\\ \frac34x-5=0&\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{20}{3},\\ \frac45x+6=0&\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{15}{2}. \end{aligned}$$

Spośród tych liczb całkowite i spełniające warunek $|x|<7$ są tylko $0$ oraz $-6$.

Pierwszy czynnik zapisujemy jako

$$\frac14x-\frac18=\frac{2x-1}{8},$$

więc zeruje się dla $x=\frac12$.

W drugim czynniku $12\frac14=\frac{49}{4}$, a zatem

$$x^2-7x+\frac{49}{4} =\left(x-\frac72\right)^2.$$

Ten czynnik zeruje się dla $x=\frac72$; jest to pierwiastek dwukrotny.

Korzystamy z postaci

$$w(x)=\frac{2x-1}{8}\left(x-\frac72\right)^2.$$

Dla $x=1\frac12=\frac32$:

$$w\left(\frac32\right) =\frac{3-1}{8}\left(\frac32-\frac72\right)^2 =\frac14\cdot4=1.$$

Dla $x=4\frac12=\frac92$:

$$w\left(\frac92\right) =\frac{9-1}{8}\left(\frac92-\frac72\right)^2 =1\cdot1=1.$$

Obie wartości są więc równe.

Lewa strona dla $n=4$ wynosi

$$1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100.$$

Prawa strona jest równa

$$\frac14\cdot4^4+\frac12\cdot4^3+\frac14\cdot4^2 =64+32+4=100.$$

Obie strony mają tę samą wartość, więc wzór jest prawdziwy dla $n=4$.

Wyłączamy $\frac14n^2$ przed nawias:

$$\begin{aligned} \frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2 &=\frac14n^2(n^2+2n+1)\\ &=\frac14n^2(n+1)^2\\ &=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2. \end{aligned}$$

Liczby $n$ i $n+1$ są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Zatem

$$\frac{n(n+1)}2$$

jest liczbą naturalną. Podana suma jest więc kwadratem liczby naturalnej.

Wszystkie długości muszą być dodatnie. Najsilniejszy warunek daje $x-2>0$, czyli $x>2$.

Objętość jest iloczynem długości krawędzi:

$$\begin{aligned} V(x) &=(x-2)x(x+4)\\ &=x(x^2+2x-8)\\ &=x^3+2x^2-8x. \end{aligned}$$

Dla $x=2\sqrt2$:

$$\begin{aligned} V(2\sqrt2) &=(2\sqrt2)^3+2(2\sqrt2)^2-8(2\sqrt2)\\ &=16\sqrt2+16-16\sqrt2\\ &=16. \end{aligned}$$

Otrzymana liczba jest wymierna.

Z opisu rysunku wynika, że podstawą graniastosłupa jest trapez o podstawach $x$ i $3x$ oraz wysokości $x$. Jego pole wynosi

$$P_p=\frac{x+3x}{2}\cdot x=2x^2.$$

Długość graniastosłupa jest równa $6x+8$, więc

$$V_g=2x^2(6x+8)=12x^3+16x^2.$$

Objętość sześcianu o krawędzi $3x$ to

$$V_s=(3x)^3=27x^3.$$

Ponieważ długość $x$ jest dodatnia, równanie $V_g=V_s$ możemy rozwiązać następująco:

$$\begin{aligned} 12x^3+16x^2&=27x^3,\\ 16x^2&=15x^3,\\ 16&=15x,\\ x&=\frac{16}{15}. \end{aligned}$$