NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 112

Obliczamy wartości po obu stronach warunku:

$$w(\sqrt2)=2a-12+2\sqrt2,$$ $$w(-\sqrt2)=2a-12-2\sqrt2.$$

Zatem

$$2a-12+2\sqrt2=-(2a-12-2\sqrt2).$$

Po redukcji wyrazów z pierwiastkiem otrzymujemy

$$2a-12=-2a+12,$$ $$4a=24,\qquad a=6.$$

Najwyższe potęgi powstają przez pomnożenie składników najwyższego stopnia z każdego czynnika:

$$(-x)\cdot(\sqrt2x)\cdot(\sqrt2x)^2.$$

Ponieważ $(\sqrt2)^2=2$, otrzymujemy

$$(-1)\cdot\sqrt2\cdot2\cdot x^4=-2\sqrt2\,x^4.$$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest więc równy $-2\sqrt2$.

Stosujemy wzór $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ dla $A=4x^2+1$ i $B=2x$:

$$\begin{aligned} (4x^2+1+2x)(4x^2+1-2x) &=(4x^2+1)^2-(2x)^2\\ &=16x^4+8x^2+1-4x^2\\ &=16x^4+4x^2+1. \end{aligned}$$

Punkt $(x_0,y_0)$ należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy $w(x_0)=y_0$. Sprawdzamy parę A:

$$w(-1)=(-1)^3-(-1)^2+6=-1-1+6=4,$$ $$w(1)=1^3-1^2+6=1-1+6=6.$$

Oba punkty $A_1(-1,4)$ i $A_2(1,6)$ należą do wykresu.

Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi:

$$V(x)=(x-4)(x+4)(x^2-4).$$

Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\begin{aligned} V(x)&=(x^2-16)(x^2-4)\\ &=x^4-4x^2-16x^2+64\\ &=x^4-20x^2+64. \end{aligned}$$

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru:

$$x=0,\qquad 2x+4=0,\qquad 2x-5=0.$$

Zatem rozwiązaniami są

$$x=0,\qquad x=-2,\qquad x=\frac52.$$

Wszystkie trzy liczby należą do przedziału

$$\left[-3;2\frac23\right].$$

Pozostałe przedziały pomijają co najmniej jedno z rozwiązań.

Sprawdzamy zbiory pierwiastków.

A.

$$x^3+2x^2=3x \iff x(x+3)(x-1)=0,$$

więc pojawia się dodatkowy pierwiastek $0$.

B. Czynnik $x$ również daje dodatkowy pierwiastek $0$.

C.

$$(x-1)^2(x^2+6x+9) =(x-1)^2(x+3)^2=0.$$

Jedynymi pierwiastkami są $1$ i $-3$.

D.

$$(x^2-1)(x+3)^2=(x-1)(x+1)(x+3)^2,$$

więc dodatkowym pierwiastkiem jest $-1$.

Podstawiamy podane wartości:

$$\begin{aligned} w\left(\frac12,-\frac12,-2\right) &=6\left(\frac12\right)^2\left(-\frac12\right)(-2) -8\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)^2(-2)\\ &=\frac32+2\\ &=\frac72=3\frac12. \end{aligned}$$