NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 101

a)

$$-x^3+2x^2-x=-x(x^2-2x+1)=-x(x-1)^2.$$

Poza zerami $0$ i $1$ znak wyrażenia jest przeciwny do znaku $x$. Zatem

$$x\in(0;1)\cup(1;\infty).$$

b)

$$-x^3+x^2+6x=-x(x^2-x-6)=-x(x-3)(x+2).$$

Pierwiastki $-2$, $0$, $3$ są jednokrotne. Siatka znaków daje

$$x\in(-\infty;-2]\cup[0;3].$$

c)

$$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)^2(x+1).$$

Czynnik kwadratowy nie zmienia znaku, więc

$$x\in(-\infty;-1]\cup\{1\}.$$

d)

$$-x^4+10x^3+11x^2=-x^2(x^2-10x-11) =-x^2(x-11)(x+1).$$

Iloczyn jest dodatni między $-1$ i $11$, z wyjątkiem jego dwukrotnego zera $x=0$. Stąd

$$x\in(-1;0)\cup(0;11).$$

e) Grupujemy wyrazy:

$$\begin{aligned} 2x^3+x^2-8x-4 &=x^2(2x+1)-4(2x+1)\\ &=(2x+1)(x-2)(x+2). \end{aligned}$$

Pierwiastki to $-2$, $-\frac12$, $2$, zatem

$$x\in\left(-2;-\frac12\right)\cup(2;\infty).$$

f)

$$\begin{aligned} 3x^3-2x^2-6x+4 &=x^2(3x-2)-2(3x-2)\\ &=(3x-2)(x^2-2)\\ &=(3x-2)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \end{aligned}$$

Kolejność pierwiastków jest następująca: $-\sqrt2<\frac23<\sqrt2$. Warunek nieujemności daje

$$x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup\left[\frac23;\sqrt2\right].$$

a) Dla pierwszego czynnika mamy

$$\Delta=3^2-4\cdot1\cdot4=-7<0.$$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, $x^2+3x+4>0$ dla każdego $x$. Nierówność jest więc równoważna

$$x^2+3x-4>0.$$

Rozkładamy trójmian:

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$$

Stąd

$$x\in(-\infty;-4)\cup(1;\infty).$$

b)

$$x^3-3x^2+x-3=x^2(x-3)+(x-3)=(x-3)(x^2+1).$$

Czynnik $x^2+1$ jest zawsze dodatni, zatem

$$(x-3)(x^2+1)\leqslant0 \iff x-3\leqslant0 \iff x\leqslant3.$$