NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 102

a)

$$9x^3-4x=x(3x-2)(3x+2)>0.$$

Pierwiastki to $-\frac23$, $0$, $\frac23$, więc

$$x\in\left(-\frac23;0\right)\cup\left(\frac23;\infty\right).$$

b)

$$4x^3+3x^2=x^2(4x+3)\geqslant0.$$

Czynnik $x^2$ jest nieujemny, a jego zero $0$ i tak należy do przedziału otrzymanego z $4x+3\geqslant0$. Zatem

$$x\in\left[-\frac34;\infty\right).$$

c)

$$x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2\leqslant0.$$

Poza dwukrotnym zerem $2$ znak wyrażenia jest znakiem $x$, więc

$$x\in(-\infty;0]\cup\{2\}.$$

d)

$$x^4-8x=x(x-2)(x^2+2x+4)<0.$$

Trójmian $x^2+2x+4$ jest dodatni, zatem $x(x-2)<0$ i

$$x\in(0;2).$$

e)

$$x^4-8x^2=x^2(x^2-8)\leqslant0.$$

Stąd $x^2\leqslant8$, czyli

$$x\in[-2\sqrt2;2\sqrt2].$$

f)

$$x^3-8x^4=x^3(1-8x)>0.$$

Pierwiastkami są $0$ i $\frac18$; sprawdzenie znaków daje

$$x\in\left(0;\frac18\right).$$

g)

$$2x^3+5x^2-3x=x(2x-1)(x+3)>0.$$

Z uporządkowanych pierwiastków $-3$, $0$, $\frac12$ otrzymujemy

$$x\in(-3;0)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

h)

$$-x^3+2x^2+4x=-x(x^2-2x-4)\leqslant0.$$

Pierwiastki trójmianu to $1-\sqrt5$ oraz $1+\sqrt5$. Wraz z pierwiastkiem $0$ wyznaczają one zbiór

$$x\in[1-\sqrt5;0]\cup[1+\sqrt5;\infty).$$

i)

$$x^4+5x^3-2x^2=x^2(x^2+5x-2)\geqslant0.$$

Pierwiastki trójmianu są równe

$$\alpha=\frac{-5-\sqrt{33}}2,\qquad \beta=\frac{-5+\sqrt{33}}2.$$

Trójmian jest nieujemny poza przedziałem $(\alpha;\beta)$, a $x=0$ jest dodatkowo dwukrotnym zerem całego wielomianu. Stąd

$$x\in(-\infty;\alpha]\cup\{0\}\cup[\beta;\infty).$$

a)

$$\begin{aligned} x^3+\sqrt2x^2-x-\sqrt2 &=x^2(x+\sqrt2)-(x+\sqrt2)\\ &=(x+\sqrt2)(x-1)(x+1). \end{aligned}$$

Zatem

$$x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup[-1;1].$$

b)

$$4x^3+12x^2-x-3=(x+3)(4x^2-1) =(x+3)(2x-1)(2x+1).$$

Stąd

$$x\in\left(-3;-\frac12\right)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

c)

$$2x^3-3x^2-10x+15=(2x-3)(x^2-5).$$

Pierwiastki są uporządkowane następująco: $-\sqrt5<\frac32<\sqrt5$. Zatem

$$x\in(-\infty;-\sqrt5]\cup\left[\frac32;\sqrt5\right].$$

d) Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę $6$:

$$3x^3+x^2-36x-12=(3x+1)(x^2-12)<0.$$

Pierwiastki to $-2\sqrt3$, $-\frac13$, $2\sqrt3$, więc

$$x\in(-\infty;-2\sqrt3)\cup\left(-\frac13;2\sqrt3\right).$$

e)

$$\begin{aligned} x^4-5x^3+x-5 &=(x-5)(x^3+1)\\ &=(x-5)(x+1)(x^2-x+1). \end{aligned}$$

Ostatni czynnik jest dodatni, bo ma wyróżnik $-3$. Zatem

$$x\in(-1;5).$$

f)

$$x^4+2x^3-6x-12=(x+2)(x^3-6).$$

Dalej

$$x^3-6=(x-\sqrt[3]{6}) \left(x^2+\sqrt[3]{6}x+\sqrt[3]{36}\right),$$

a trójmian w nawiasie jest dodatni. Stąd

$$x\in(-\infty;-2]\cup[\sqrt[3]{6};\infty).$$

g)

$$\begin{aligned} 6x^5-9x^4+4x^3-6x^2 &=x^2(6x^3-9x^2+4x-6)\\ &=x^2(2x-3)(3x^2+2). \end{aligned}$$

Czynniki $x^2$ i $3x^2+2$ nie są ujemne, a nierówność jest ostra. Zatem

$$x\in\left(\frac32;\infty\right).$$

h) Skan strony 102 pokazuje, że kreski pierwiastków obejmują tylko współczynniki $3$ i $6$. Rozwiązujemy więc nierówność

$$\sqrt3x^5-\sqrt6x^4-\sqrt6x^3+2\sqrt3x^2\geqslant0.$$

Wyłączamy $\sqrt3x^2$ i grupujemy:

$$\begin{aligned} &\sqrt3x^2(x^3-\sqrt2x^2-\sqrt2x+2)\\ &\quad=\sqrt3x^2(x-\sqrt2)(x^2-\sqrt2)\\ &\quad=\sqrt3x^2(x-\sqrt2)(x-\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2}). \end{aligned}$$

Ponieważ $\sqrt[4]{2}<\sqrt2$, siatka znaków daje

$$x\in[-\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2}]\cup[\sqrt2;\infty).$$

a) Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu. Dzieląc przez $x-2$ i grupując iloraz, otrzymujemy

$$x^4-x^3-2x-4=(x-2)(x+1)(x^2+2).$$

Ponieważ $x^2+2>0$, nierówność sprowadza się do $(x-2)(x+1)\leqslant0$. Zatem

$$x\in[-1;2].$$

b)

$$x^3+6x^2+6x+5=(x+5)(x^2+x+1)>0.$$

Trójmian jest dodatni, bo ma wyróżnik $-3$, więc

$$x\in(-5;\infty).$$

c) Przenosimy $3$ na lewą stronę:

$$-x^3+2x^2+4x-3=-(x-3)(x^2+x-1)>0.$$

Pierwiastki trójmianu to

$$\alpha=\frac{-1-\sqrt5}{2},\qquad \beta=\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$

Ponieważ $\alpha<\beta<3$, otrzymujemy

$$x\in(-\infty;\alpha)\cup(\beta;3).$$

d)

$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3\leqslant0,$$

zatem $x\leqslant2$.

e)

$$(x+1)^2(3x^2-x-1)<0.$$

Pierwiastki drugiego czynnika są równe $\frac{1-\sqrt{13}}6$ i $\frac{1+\sqrt{13}}6$. Pierwiastek $-1$ nie leży między nimi, więc

$$x\in\left(\frac{1-\sqrt{13}}6;\frac{1+\sqrt{13}}6\right).$$

f)

$$\begin{aligned} &(x^2+x-2)(2x^2-3x+1)\\ &\quad=(x+2)(x-1)(2x-1)(x-1)\\ &\quad=(x+2)(2x-1)(x-1)^2>0. \end{aligned}$$

Znak nie zmienia się przy dwukrotnym zerze $1$. Stąd

$$x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac12;1\right)\cup(1;\infty).$$

g)

$$3x^4-3x^2+3<4-x^4 \iff 4x^4-3x^2-1<0.$$

Rozkładamy:

$$4x^4-3x^2-1=(4x^2+1)(x^2-1).$$

Pierwszy czynnik jest dodatni, więc $x^2-1<0$ i

$$x\in(-1;1).$$

h)

$$x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9)\geqslant0.$$

Pierwiastki to $-3$, $-2$, $2$, $3$. Zatem

$$x\in(-\infty;-3]\cup[-2;2]\cup[3;\infty).$$

a) Ponieważ $w(-1)=0$, dzielimy przez $x+1$:

$$w(x)=(x+1)(x^2+2x-1).$$

Pierwiastki trójmianu to $-1-\sqrt2$ i $-1+\sqrt2$, zatem

$$w(x)=(x+1)(x+1+\sqrt2)(x+1-\sqrt2).$$

Wszystkie trzy pierwiastki są jednokrotne, a współczynnik wiodący jest dodatni. Stąd

$$x\in(-\infty;-1-\sqrt2]\cup[-1;-1+\sqrt2].$$

b) Mamy $w(-4)=0$, więc

$$w(x)=(x+4)(x^2+4x+1).$$

Pierwiastki trójmianu są równe $-2-\sqrt3$ oraz $-2+\sqrt3$. Ich kolejność to $-4<-2-\sqrt3<-2+\sqrt3$, zatem

$$x\in(-\infty;-4]\cup[-2-\sqrt3;-2+\sqrt3].$$

c) Ponieważ $w(3)=0$,

$$w(x)=(x-3)(x^2+x+1).$$

Dla drugiego czynnika

$$\Delta=1-4=-3<0,$$

więc $x^2+x+1>0$ dla każdego $x$. Jedynym pierwiastkiem wielomianu jest $3$, a nierówność jest równoważna $x-3\leqslant0$. Stąd

$$x\in(-\infty;3].$$

d) Wyłączamy $-x$ i grupujemy wyrazy:

$$\begin{aligned} w(x)&=-x(x^3-2x^2+4x-8)\\ &=-x(x-2)(x^2+4). \end{aligned}$$

Czynnik $x^2+4$ jest dodatni. Pierwiastkami są $0$ i $2$, a

$$-x(x-2)\leqslant0 \iff x(x-2)\geqslant0.$$

Zatem

$$x\in(-\infty;0]\cup[2;\infty).$$