NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 350

Wszystkie funkcje mają $a=4>0$ i oś symetrii $x_w=\frac{12}{8}=\frac32$. Dla funkcji $4x^2-12x+c$ minimum wynosi

$f\left(\frac32\right)=9-18+c=c-9.$

Aby zbiorem wartości było $[-10,\infty)$, musi zachodzić $c-9=-10$, czyli $c=-1$. Jest to funkcja z odpowiedzi C.

Oś symetrii funkcji $ax^2+bx+c$ ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$. Dla wariantu D mamy

$x=-\frac{-4}{2\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.$

Pozostałe warianty dają odpowiednio $-\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt2}{2}$ i $-\sqrt2$.

Ramiona są skierowane w dół tylko wtedy, gdy $a<0$, zatem pozostają C i D, bo $1-\sqrt2<0$. W C wierzchołek to $(0,-6)$, czyli leży pod osią $OX$. W D funkcja ma zera $0$ i $\frac{6}{1-\sqrt2}<0$, a między nimi przyjmuje wartości dodatnie; jej wierzchołek leży więc nad osią $OX$.

Dwa różne pierwiastki występują dla $\Delta>0$.

A, B: $\Delta=12-8\sqrt3<0$.
C: $\Delta=18-8\sqrt3>0$.
D: $\Delta=18-16\sqrt3<0$.

Jedynie wariant C ma dodatni wyróżnik.

Z miejsc zerowych i współczynnika wiodącego otrzymujemy

$y=4(x-5)(x+3)=4(x^2-2x-15)=4x^2-8x-60.$

Zatem $b=-8$ i $c=-60$.

Czynniki zerują się dla $x=-4$ i $x=-2$, więc oś symetrii przechodzi przez ich średnią: $x_w=-3$. Obliczamy rzędną:

$y(-3)=(2\cdot(-3)+8)(3\cdot(-3)+6)=2\cdot(-3)=-6.$

W wariancie B dla każdego $x\in\mathbb R$ mamy

$-4x^2-1\le-1<0,$

więc nierówność jest zawsze prawdziwa. Pozostałe trójmiany zmieniają znak lub przyjmują wartości niezgodne ze wskazaną nierównością dla części liczb.

W każdym wariancie jednym miejscem zerowym jest $-1$. Drugie dodatnie miejsce zerowe wynosi kolejno:

$\frac{11}{2},\quad\frac92,\quad\frac72,\quad\frac52.$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, nierówność $\ge0$ zachodzi na prawo od dodatniego zera. Mamy $\frac52<\pi<\frac72$, więc tylko w wariancie D liczba $\pi$ należy do zbioru rozwiązań.