NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 302

a) Przeciwprostokątna ma długość (13). Dwusieczna kąta prostego dzieli ją w stosunku (5:12), więc otrzymane odcinki mają długości

$$13\cdot\frac5{17}=\frac{65}{17}=3\frac{14}{17}, \qquad 13\cdot\frac{12}{17}=\frac{156}{17}=9\frac3{17}.$$

b) Boki trójkąta mają długości (1,\sqrt3,2).

• Dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku (1:\sqrt3), dając odcinki (\sqrt3-1) i (3-\sqrt3).
• Dwusieczna kąta (60^\circ) dzieli bok długości (\sqrt3) w stosunku (1:2), dając (\frac{\sqrt3}{3}) i (\frac{2\sqrt3}{3}).
• Dwusieczna kąta (30^\circ) dzieli bok długości (1) w stosunku (\sqrt3:2), dając (2\sqrt3-3) i (4-2\sqrt3).

c) Przeciwprostokątna ma długość

$$\frac{15}{7}+\frac{20}{7}=5.$$

Stosunek przyprostokątnych jest równy (15:20=3:4), zatem jest to trójkąt o bokach (3,4,5). Jego obwód wynosi (12).

d) Jeśli krótsza przyprostokątna ma długość (x), to

$$x=\tan22{,}5^\circ.$$

Korzystając ze wzoru na tangens połowy kąta,

$$x=\frac{\sin45^\circ}{1+\cos45^\circ} =\frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.$$