NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 295

Punkty $P$ i $Q$ są środkami boków $BC$ i $AC$. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i dwa razy od niego krótszy, więc

$$PQ\parallel AB,\qquad |AB|=2|PQ|.$$

Kąty $AOB$ i $POQ$ są wierzchołkowe. Z równoległości $PQ\parallel AB$ otrzymujemy również równość odpowiednich kątów przy $A,P$ oraz $B,Q$. Zatem

$$\triangle ABO\sim\triangle PQO.$$

Skala większego trójkąta do mniejszego wynosi $AB/PQ=2$, stąd

$$\frac{|AO|}{|OP|}=\frac{|BO|}{|OQ|}=2.$$

Punkt $O$ dzieli więc środkowe $AP$ i $BQ$ w stosunku $2:1$ od wierzchołków.

Niech $O'$ będzie punktem przecięcia środkowej $AP$ ze środkową poprowadzoną z $C$. To samo rozumowanie daje $AO':O'P=2:1$. Na odcinku $AP$ istnieje tylko jeden punkt oddalony od $A$ o $2/3$ długości $AP$, zatem $O'=O$. Trzecia środkowa przechodzi więc przez $O$, a wszystkie trzy środkowe są współpękowe.

Z konstrukcji mamy

$$k\parallel BC,\qquad l\parallel AC,\qquad m\parallel AB.$$

W czworokącie $ABCB_1$ przeciwległe boki są parami równoległe: $AB\parallel CB_1$ i $BC\parallel AB_1$. Jest on więc równoległobokiem. Tak samo $AC_1BC$ jest równoległobokiem, ponieważ $AC\parallel C_1B$ i $BC\parallel AC_1$. Stąd

$$|AB_1|=|BC|=|AC_1|.$$

Analogicznie otrzymujemy $|BC_1|=|BA_1|$ oraz $|CA_1|=|CB_1|$. Punkty $A,B,C$ są zatem środkami boków odpowiednio $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$ trójkąta $A_1B_1C_1$.

Symetralna boku $B_1C_1$ przechodzi przez jego środek $A$ i jest prostopadła do $B_1C_1$. Ponieważ $B_1C_1\parallel BC$, jest ona prostą zawierającą wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z $A$. Analogicznie pozostałe dwie symetralne są prostymi zawierającymi wysokości z $B$ i $C$.

Trzy symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, więc również trzy proste zawierające wysokości trójkąta $ABC$ przecinają się w jednym punkcie.