NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 283

a) Z twierdzenia Talesa:

$$\frac{|AC|}{|AE|}=\frac{|AB|}{|AD|}, \qquad \frac{|AC|}{|BC|}=\frac{|AE|}{|DE|}.$$

W pierwszej proporcji należy więc wpisać $|AC|$, a w drugiej $|AE|$.

b) Mamy $|BC|=|AC|-|AB|=5{,}4-3{,}6=1{,}8$. Odcinki między kolejnymi prostymi równoległymi są proporcjonalne, zatem

$$\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|DE|}, \qquad \frac{3{,}6}{1{,}8}=\frac{|AD|}{1{,}2}.$$

Stąd $|AD|=2{,}4$.

a) Twierdzenie Talesa zastosowane kolejno do prostych $BD$, $CE$ i $ST$ daje wspólny współczynnik proporcjonalności odcinków na obu ramionach kąta. Dlatego

$$\frac{|BC|}{|DE|}=\frac{|CS|}{|ET|}.$$

b) Ponieważ $|AS|=10$, $|BC|=2$ i $|CS|=4$, mamy

$$|AB|=10-2-4=4.$$

Z proporcji

$$\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|ET|}{|CS|}=\frac64=\frac32$$

otrzymujemy $|DE|=3$. Ten sam współczynnik dotyczy odcinków $AB$ i $AD$, więc

$$|AD|=\frac32\cdot4=6.$$

Z twierdzenia Talesa dla prostych $BD\parallel CE$:

$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AE|}, \qquad \frac{3{,}6}{4{,}8}=\frac{4{,}5}{|AE|}.$$

Stąd $|AE|=6$. Punkty $E,A,D$ leżą na jednej prostej, a $A$ znajduje się między $E$ i $D$, zatem

$$|ED|=|EA|+|AD|=6+4{,}5=10{,}5.$$