NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 281

a) Opuśćmy z $P$ prostopadłe $PM$ i $PN$ na ramiona $AB$ i $AC$. Trójkąty $APM$ i $APN$ są prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną $AP$ oraz równe kąty przy $A$, bo $AP$ jest dwusieczną. Są więc przystające, a zatem $PM=PN$. Są to odległości punktu $P$ od ramion kąta.

b) Niech dwusieczne kątów $A$ i $B$ przecinają się w $I$. Z części a) punkt $I$ jest równo oddalony od boków $AB$ i $AC$, a także od $BA$ i $BC$. Jest więc równo oddalony od $AC$ i $BC$, czyli leży również na dwusiecznej kąta $C$.

Stosujemy nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

a) $2+2>\sqrt7$ — tak.

b) $7+8=\sqrt{225}=15$ — nie.

c) $\frac14+\frac16=\frac5{12}<\frac12$ — nie.

d) $1+\frac1{\sqrt2}>\sqrt2$; po pomnożeniu przez $\sqrt2$ otrzymujemy $\sqrt2+1>2$ — tak.

Rozpatrujemy nieuporządkowane trójki długości, uwzględniając liczbę dostępnych odcinków. Warunek trójkąta spełniają: [ (2,2,3),\ (2,3,3),\ (2,5,5),\ (3,3,3),\ (3,3,5),\ (3,5,5). ] Trójka $(2,2,2)$ odpada, bo są tylko dwa odcinki długości $2$, a $(5,5,5)$ — bo są tylko dwa odcinki długości $5$. Zestawy $(2,2,5)$ i $(2,3,5)$ nie spełniają ostrej nierówności trójkąta.