NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 10

Korzystamy z cech podzielności przez $2$, $3$, $5$ i $9$.

a) Liczba $653\,925$ jest nieparzysta, kończy się cyfrą $5$, a suma jej cyfr wynosi

$6+5+3+9+2+5=30.$

Jest więc podzielna przez $3$ i $5$, ale nie przez $2$ ani $9$.

b) Liczba $574\,038$ jest parzysta, nie kończy się cyfrą $0$ ani $5$, a

$5+7+4+0+3+8=27.$

Jest podzielna przez $2$, $3$ i $9$, ale nie przez $5$.

c) Liczba $946\,030$ jest parzysta i kończy się cyfrą $0$, natomiast

$9+4+6+0+3+0=22.$

Jest podzielna przez $2$ i $5$, ale nie przez $3$ ani $9$.

d) Liczba $749\,298$ jest parzysta, nie kończy się cyfrą $0$ ani $5$, a

$7+4+9+2+9+8=39.$

Jest podzielna przez $2$ i $3$, ale nie przez $5$ ani $9$.

O podzielności przez $4$ decydują dwie ostatnie cyfry liczby.

• a) $74$ nie jest podzielne przez $4$, więc $63\,874$ również nie jest.
• b) $52=4\cdot13$, więc $58\,052$ jest podzielne przez $4$.
• c) $6$ nie jest podzielne przez $4$, więc $35\,406$ nie jest podzielne przez $4$.
• d) $96=4\cdot24$, więc $47\,796$ jest podzielne przez $4$.

Sprawdzamy, dla których cyfr liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest wielokrotnością $4$.

a) Spośród liczb $60,61,\ldots,69$ podzielne przez $4$ są $60$, $64$ i $68$. Zatem $a\in\{0,4,8\}$.

b) Wśród liczb od $30$ do $39$ warunek spełniają $32$ i $36$. Zatem $a\in\{2,6\}$.

c) Liczby dwucyfrowe kończące się cyfrą $6$ i podzielne przez $4$ to $16$, $36$, $56$, $76$, $96$. Zatem $a\in\{1,3,5,7,9\}$.

d) Spośród liczb $00,11,22,\ldots,99$ podzielne przez $4$ są $00$, $44$ i $88$. Zatem $a\in\{0,4,8\}$.

Liczba jest podzielna przez $3$, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $3$.

a) Suma cyfr wynosi $16+a$. Dla cyfry $a$ wielokrotnościami $3$ są tu $18$, $21$ i $24$, więc $a\in\{2,5,8\}$.

b) Suma cyfr wynosi $26+a$. Możliwe wielokrotności $3$ to $27$, $30$, $33$, więc $a\in\{1,4,7\}$.

c) Suma cyfr wynosi $15+2a$. Ponieważ $15$ jest podzielne przez $3$, potrzeba $3\mid 2a$, czyli $3\mid a$. Stąd $a\in\{0,3,6,9\}$.

d) Suma cyfr wynosi $14+3a$. Liczba $3a$ jest podzielna przez $3$, natomiast $14$ nie jest, więc żadna cyfra $a$ nie spełnia warunku.

Liczba naturalna jest podzielna przez $8$, gdy liczba utworzona z jej trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez $8$.

• a) $592=8\cdot74$, więc $713\,592$ jest podzielne przez $8$.
• b) $44=8\cdot5+4$, więc $639\,044$ nie jest podzielne przez $8$.
• c) $658=8\cdot82+2$, więc $480\,658$ nie jest podzielne przez $8$.
• d) $296=8\cdot37$, więc $817\,296$ jest podzielne przez $8$.

Liczba jest podzielna przez $6$, gdy dzieli się przez $2$ i $3$; przez $12$, gdy dzieli się przez $3$ i $4$; przez $15$, gdy dzieli się przez $3$ i $5$.

a) Dla $775\,584$ suma cyfr wynosi $36$, liczba jest parzysta, a $84$ dzieli się przez $4$. Nie kończy się cyfrą $0$ ani $5$. Jest zatem podzielna przez $6$ i $12$.

b) Dla $868\,470$ suma cyfr wynosi $33$, liczba jest parzysta i kończy się cyfrą $0$, ale $70$ nie dzieli się przez $4$. Jest podzielna przez $6$ i $15$.

c) Dla $894\,665$ suma cyfr wynosi $38$, więc liczba nie dzieli się przez $3$. Nie jest podzielna przez żadną z liczb $6$, $12$, $15$.

d) Dla $501\,474$ suma cyfr wynosi $21$ i liczba jest parzysta, lecz $74$ nie dzieli się przez $4$, a ostatnią cyfrą nie jest $0$ ani $5$. Jest podzielna tylko przez $6$.

Suma cyfr liczby $3\,150\,57a$ jest równa $21+a$.

a) Podzielność przez $9$ wymaga $21+a=27$, więc $a=6$.

b) Przy podzielności przez $6$ cyfra $a$ musi być parzysta, a $21+a$ podzielne przez $3$. Otrzymujemy $a=0$ lub $a=6$.

c) O podzielności przez $4$ decyduje liczba $70+a$. Wielokrotnościami $4$ w tym zakresie są $72$ i $76$, więc $a=2$ lub $a=6$.

d) O podzielności przez $8$ decyduje liczba $570+a$. Jedyną wielokrotnością $8$ wśród liczb od $570$ do $579$ jest $576$, więc $a=6$.

Korzystamy z rozkładów $15=3\cdot5$, $45=9\cdot5$ i $75=3\cdot25$.

a) Suma cyfr liczby $1155$ wynosi $12$, a dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę $55$. Liczba dzieli się przez $3$, $5$ i $25$, lecz nie przez $9$. Jest podzielna przez $15$ i $75$.

b) Dla $9825$ suma cyfr wynosi $24$, a końcówka $25$ jest podzielna przez $25$. Liczba jest podzielna przez $15$ i $75$, ale nie przez $45$.

c) Suma cyfr liczby $5165$ wynosi $17$, więc liczba nie dzieli się przez $3$ ani $9$. Nie jest podzielna przez żadną z podanych liczb.

d) Suma cyfr liczby $8235$ wynosi $18$, a liczba kończy się cyfrą $5$, lecz $35$ nie dzieli się przez $25$. Liczba jest podzielna przez $15$ i $45$.