MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 83

Pierwszą cyfrę wybieramy spośród $1,2,\ldots,n$, czyli na $n$ sposobów. Po tym wyborze na drugą pozycję pozostaje $n$ cyfr (łącznie z zerem), a na trzecią — $n-1$ cyfr. Warunek z treści daje

$$n\cdot n\cdot(n-1)=100.$$

Dla $n=5$ lewa strona jest równa $5^2\cdot4=100$. Funkcja $n^2(n-1)$ jest rosnąca dla dodatnich liczb całkowitych, więc jest to jedyne rozwiązanie.

Na pierwszym miejscu nie może stać zero, więc mamy $3$ możliwości. Każdą z pozostałych trzech cyfr wybieramy spośród czterech podanych cyfr; cyfry mogą się powtarzać. Zatem liczb jest

$$3\cdot4^3=192.$$

W urnie są trzy kule o numerach nieparzystych: $1,3,5$. Ponieważ losujemy ze zwracaniem, w każdym losowaniu prawdopodobieństwo numeru nieparzystego wynosi $\frac35$, a cztery losowania są niezależne. Stąd

$$P=\left(\frac35\right)^4=\frac{81}{625}.$$

W pojedynczym rzucie prawdopodobieństwo otrzymania $3$ lub $4$ wynosi $\frac26=\frac13$, a prawdopodobieństwo innego wyniku — $\frac23$. Wyróżniony wynik może wystąpić w pierwszym albo w drugim rzucie, więc

$$P=2\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac49.$$

Łatwiej odjąć zdarzenie przeciwne: wypadło pięć albo sześć reszek. Każdy z $2^6=64$ ciągów wyników jest jednakowo prawdopodobny, zatem

$$P=1-\frac{\binom65+\binom66}{64} =1-\frac7{64}=\frac{57}{64}.$$

Rozpatrzmy cyfrę jedności.

1. Cyfrą jedności jest $6$. Drugą szóstkę umieszczamy wśród pierwszych trzech pozycji. Gdy stoi ona na miejscu tysięcy, dwie pozostałe cyfry można wybrać po $9$ sposobów: daje to $9^2=81$ liczb. Gdy stoi na miejscu setek albo dziesiątek, mamy $2\cdot8\cdot9=144$ liczb, bo pierwsza cyfra jest niezerowa i różna od $6$. Razem: $225$.

2. Cyfrą jedności jest jedna z cyfr $0,2,4,8$. Jeśli pierwszą cyfrą jest $6$, drugą szóstkę wybieramy na jednym z dwóch środkowych miejsc, a pozostałe miejsce uzupełniamy na $9$ sposobów: $4\cdot2\cdot9=72$. Jeśli pierwsza cyfra nie jest szóstką, obie środkowe cyfry muszą być szóstkami; pierwszą cyfrę wybieramy na $8$, a ostatnią na $4$ sposoby: $32$ liczby.

Łącznie otrzymujemy $225+72+32=329$ liczb.

Każda z pięciu kul z jednakowym prawdopodobieństwem może zostać wylosowana jako ostatnia. Utworzona liczba jest parzysta dokładnie wtedy, gdy ostatnia kula ma numer $2$ albo $4$. Stąd

$$P=\frac25.$$

Równoważnie: spośród $5\cdot4\cdot3=60$ uporządkowanych trójek sprzyja $2\cdot4\cdot3=24$, a $\frac{24}{60}=\frac25$.

Liczb sześciocyfrowych jest $900000$. W przedziale od $100000$ do $999999$ jest $225000$ wielokrotności $4$ i $180000$ wielokrotności $5$. Wielokrotnościami obu liczb są wielokrotności $20$; jest ich $45000$. Z zasady włączeń i wyłączeń liczba wyników sprzyjających wynosi

$$225000+180000-45000=360000.$$

Zatem $P=\frac{360000}{900000}=\frac25$.

Po uwzględnieniu ceny losu zysk wynosi odpowiednio $440$ zł, $240$ zł albo $-10$ zł. Losów przegrywających jest $200-2-4=194$. Wartość oczekiwana zysku to

$$E=440\cdot\frac2{200}+240\cdot\frac4{200} -10\cdot\frac{194}{200} =-0{,}5\ \text{zł}.$$