MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 82

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc wybieramy ją na $9$ sposobów. Ostatnia cyfra jest już przez nią wyznaczona. Każdą z trzech środkowych cyfr wybieramy niezależnie na $10$ sposobów. Liczb jest zatem

$$9\cdot 10^3.$$

Suma pierwszych dwóch cyfr jest parzysta, gdy obie mają tę samą parzystość. Pierwszą cyfrę wybieramy na $4$ sposoby, a drugą na $2$, czyli mamy $8$ możliwości. Suma ostatnich dwóch cyfr jest nieparzysta, gdy mają różne parzystości; tu również mamy $4\cdot2=8$ możliwości. Łącznie jest

$$8\cdot8=64=4^3$$

kodów.

Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy w obu rzutach wypadnie liczba nieparzysta. Jest to zdarzenie przeciwne do $A$, zatem

$$P(A')=\left(\frac36\right)^2=\frac14.$$

W przestrzeni jest $8$ równoprawdopodobnych ciągów. Zdarzenie $A$ zachodzi dla jednego albo trzech orłów, więc

$$P(A)=\frac{\binom31+\binom33}{8}=\frac12.$$

Zdarzenie $B$ zachodzi dla dwóch albo trzech orłów, zatem również $P(B)=\frac{\binom32+\binom33}{8}=\frac12$. Wobec tego $P(A)=P(A')$ oraz $P(B)=P(B')$. Spośród podanych zdań prawdziwe jest tylko $P(A)\le P(A')$.

Z inkluzji $A\subset B$ wynika

$$A\cup B=B\quad\text{oraz}\quad A\cap B=A.$$

Zatem $P(A\cup B)=P(B)=\frac34$, natomiast $P(A\cap B)=P(A)=\frac23$. Prawdziwa jest odpowiedź B.

Wszystkich liczb utworzonych z trzech różnych cyfr zbioru jest $5\cdot4\cdot3=60$. Podzielność przez $9$ wymaga sumy cyfr podzielnej przez $9$. Taką sumę mają dokładnie trójki cyfr $\{1,3,5\}$ i $\{2,3,4\}$. Każdą z nich można ustawić na $3!=6$ sposobów, więc liczb podzielnych przez $9$ jest $12$. Otrzymujemy

$$P=\frac{12}{60}=\frac15.$$

W szufladzie jest $10$ rękawiczek, w tym $5$ lewych. Zatem

$$P=\frac{\binom52}{\binom{10}2}=\frac{10}{45}=\frac29.$$

Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego: wypadło zero, jedna albo dwie reszki. Każdy ciąg dwunastu wyników ma prawdopodobieństwo $2^{-12}$, więc

$$P=1-\frac{\binom{12}0+\binom{12}1+\binom{12}2}{2^{12}} =1-\frac{1+12+66}{4096} =\frac{4017}{4096}.$$