MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 79

Wszystkich trójek jest $\binom{10}{3}=120$.

a) Odejmujemy wybór trzech dziewcząt: $P=1-\frac{\binom43}{120}=1-\frac4{120}=\frac{29}{30}$.

b) Wybieramy zero dziewcząt albo jedną dziewczynę:

$$P=\frac{\binom63+\binom41\binom62}{120} =\frac{20+60}{120}=\frac23.$$

Partii nie przyjmiemy tylko wtedy, gdy oba wadliwe elementy znajdą się w próbie $50$ elementów. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi

$$\frac{50}{100}\cdot\frac{49}{99}=\frac{49}{198}.$$

Zatem prawdopodobieństwo przyjęcia partii to $1-\frac{49}{198}=\frac{149}{198}$.

Wszystkich liczb jest $3^6=729$.

$A$ zawiera trzy liczby: $222222$, $333333$, $444444$, zatem $P(A)=\frac3{729}=\frac1{243}$.

Dla $B$ odejmujemy liczby bez cyfry $4$ i z dokładnie jedną cyfrą $4$:

$$P(B)=1-\frac{2^6+\binom61 2^5}{729}=\frac{473}{729}.$$

Dla $C$ rozmieszczamy po dwie cyfry każdego rodzaju:

$$P(C)=\frac{6!/(2!2!2!)}{729}=\frac{90}{729}=\frac{10}{81}.$$

Nieuporządkowanych par jest $\binom{15}{2}=105$.

a) Sumę mniejszą od $5$ dają tylko pary $\{1,2\}$ i $\{1,3\}$, więc $P=\frac2{105}$.

b) Obie liczby wybieramy ze zbioru $\{1,\ldots,6\}$: $P=\frac{\binom62}{105}=\frac17$.

c) Iloczyn jest nieparzysty tylko dla dwóch spośród $8$ liczb nieparzystych. Zatem

$$P=1-\frac{\binom82}{105}=1-\frac{28}{105}=\frac{11}{15}.$$

Wszystkich zestawów trzech pytań jest $\binom{20}{3}$, a zestawów złożonych wyłącznie z pytań znanych studentowi $\binom{12}{3}$. Dlatego

$$P=\frac{\binom{12}{3}}{\binom{20}{3}} =\frac{220}{1140}=\frac{11}{57}.$$

Zakładamy niezależność wyników różnych loterii.

a) $P(WW)=\frac13\cdot\frac14=\frac1{12}$.

b) Dokładnie jeden los wygrywa w dwóch rozłącznych przypadkach:

$$P=\frac13\cdot\frac34+\frac23\cdot\frac14 =\frac14+\frac16=\frac5{12}.$$

Niech białych kul będzie $n$, a czarnych $2n$. Wtedy

$$P(2C)=\frac{\binom{2n}{2}}{\binom{3n}{2}} =\frac{2(2n-1)}{3(3n-1)}.$$

Rozwiązujemy nierówność

$$\frac{2(2n-1)}{3(3n-1)}>\frac25 \iff 10(2n-1)>6(3n-1) \iff n>2.$$

Najmniejsze $n$ to $3$, zatem wszystkich kul jest $3n=9$.

Każdą wartość $n=1,2,3,4$ losujemy z prawdopodobieństwem $\frac14$.

a)

$$P=\frac14\sum_{n=1}^4\left(\frac16\right)^n =\frac14\left(\frac16+\frac1{36}+\frac1{216}+\frac1{1296}\right) =\frac{259}{5184}.$$

b)

$$P=\frac14\sum_{n=1}^4\left(\frac56\right)^n =\frac{3355}{5184}.$$