MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 78

Każda urna jest wybierana z prawdopodobieństwem $\frac16$. W urnie $U_n$ prawdopodobieństwo białej kuli wynosi $\frac1{n+1}$. Zatem

$$P(B)=\frac16\left(\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17\right) =\frac{223}{840}.$$

Ponieważ $\frac{223}{840}>\frac{210}{840}=\frac14$, szukane prawdopodobieństwo jest większe od $\frac14$.

Wszystkich trójek kul jest $\binom{12}{3}=220$.

a) Trzy białe kule można wybrać na $\binom83=56$ sposobów, więc $P=\frac{56}{220}=\frac{14}{55}$.

b) Dwie białe i jedną czarną wybieramy na $\binom82\binom41=28\cdot4=112$ sposobów, więc $P=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$.

Każdą urnę wybieramy z prawdopodobieństwem $\frac12$.

a)

$$P=\frac12\frac{\binom73}{\binom{10}3} +\frac12\frac{\binom43}{\binom{10}3} =\frac12\left(\frac7{24}+\frac1{30}\right)=\frac{13}{80}.$$

b)

$$P=\frac12\frac{\binom31\binom21}{\binom52} +\frac12\frac{\binom41\binom11}{\binom52} =\frac12\left(\frac35+\frac25\right)=\frac12.$$

Niech w pierwszej urnie będzie $w$ kul białych, a w drugiej $10-w$.

a) Prawdopodobieństwo białej kuli wynosi

$$\frac12\frac{w}{10}+\frac12\frac{10-w}{10}=\frac12,$$

więc rozmieszczenie nie ma znaczenia.

b) Prawdopodobieństwo dwóch białych jest proporcjonalne do $\binom w2+\binom{10-w}{2}$. To wyrażenie jest największe na krańcach $w=0$ albo $w=10$. Należy więc umieścić wszystkie białe kule w jednej urnie, a wszystkie czarne w drugiej.

Skoro orzeł wypada dwa razy częściej, to $p(O)=\frac23$, a $p(R)=\frac13$. Co najmniej dwa orły oznaczają dwa albo trzy orły:

$$P=\binom32\left(\frac23\right)^2\frac13 +\left(\frac23\right)^3 =\frac{12}{27}+\frac8{27}=\frac{20}{27}.$$

Niech $p_B,p_N,p_Z$ oznaczają prawdopodobieństwa kolorów. Z danych $p_B+p_N=\frac34$, więc $p_Z=\frac14$. Ponadto $p_N+p_Z=\frac45$, zatem

$$p_N=\frac45-\frac14=\frac{11}{20}.$$

Kule o nieparzystych numerach to biała $1$ oraz czarne $3$ i $5$. Warunkowo na $B$ losujemy parę spośród tych trzech kul; tylko para $(3,5)$ jest czarna, więc

$$P(A|B)=\frac1{\binom32}=\frac13.$$

Warunkowo na $A$ losujemy parę spośród czterech czarnych kul; tylko para $(3,5)$ ma oba numery nieparzyste, zatem

$$P(B|A)=\frac1{\binom42}=\frac16.$$

Szkodnik ginie od razu z prawdopodobieństwem $0{,}8$. Do drugiego oprysku dochodzi z prawdopodobieństwem $0{,}2$, a wtedy ginie z prawdopodobieństwem $0{,}3$. Zatem

$$P(\text{śmierć po pierwszym lub drugim oprysku}) =0{,}8+0{,}2\cdot0{,}3=0{,}86<0{,}9.$$