MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 290

Niech $x=P(A\cap B)$. Z warunku $P(A\mid B)=\frac15$ wynika $P(B)=5x$. Korzystając ze wzoru na sumę zdarzeń, otrzymujemy $\frac34=P(A\cup B)=\frac14+5x-x.$ Stąd $4x=\frac12$, czyli $x=\frac18$.

a) Ponieważ $P(A\cup B)=1$, $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1=\frac12+\frac34-1=\frac14.$ Następnie $P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)=\frac34-\frac14=\frac12.$

b) Zdarzenia są rozłączne, więc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac13+\frac12=\frac56,$ a $A\setminus B=A$, zatem $P(A\setminus B)=\frac13$.

a) Mamy $P(B)=\frac14$ oraz $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac23+\frac14-\frac34=\frac16.$ Ponieważ $P(A\cap B')=\frac23-\frac16=\frac12$, $P(A'\cup B)=1-P(A\cap B')=\frac12.$ Ponadto $P(A\mid B)=\frac{1/6}{1/4}=\frac23.$

b) Oznaczmy $x=P(A\cap B)$. Wtedy $P(A)=P(B)=3x$, a z $P(A\cup B)=1$ wynika $3x+3x-x=1$, więc $x=\frac15$ i $P(B)=\frac35$. Stąd

Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń mamy $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).$ Ponieważ $P(A\cup B)\le1$, $P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1.$ Dzieląc obie strony przez dodatnią liczbę $P(B)$, otrzymujemy

Dwa orły i dwie reszki mają po prawdopodobieństwie $\frac14$, a wynik mieszany — $\frac12$. Wartość oczekiwana jest równa $E=80\cdot\frac14+40\cdot\frac14-p\cdot\frac12=30-\frac p2.$

a) Dla $p=50$ otrzymujemy $E=30-25=5$ zł.

b) Gra jest sprawiedliwa, gdy $E=0$, czyli $30-\frac p2=0$. Stąd $p=60$ zł.

Sumy $10,11,12$ występują odpowiednio dla $3,2,1$ wyników, więc prawdopodobieństwo sumy co najmniej $10$ wynosi $\frac6{36}=\frac16$. Sumę $7$ daje sześć wyników, także z prawdopodobieństwem $\frac16$. Pozostałe wyniki mają prawdopodobieństwo $\frac{24}{36}=\frac23$.

Warunek sprawiedliwości ma postać $x\cdot\frac16+2x\cdot\frac16-36\cdot\frac23=0,$ czyli $\frac x2-24=0$. Stąd $x=48$.

a) Bez zwracania możliwe nieuporządkowane pary mają sumy $7,8,9$, każdą z prawdopodobieństwem $\frac13$. Zatem $EX=\frac{7+8+9}{3}=8.$

b) Ze zwracaniem oba losowania mają wartość oczekiwaną równą średniej liczb $3,4,5$, czyli $4$. Z liniowości wartości oczekiwanej suma ma wartość $EX=4+4=8.$