MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 280

Promienie kół przekrojów wynoszą $3$ i $5$. Niech odległości ich płaszczyzn od środka kuli będą równe $x,y$. Płaszczyzny leżą po przeciwnych stronach środka, więc $x+y=8$. Ponadto $R^2-x^2=9$, $R^2-y^2=25$, zatem $(x-y)(x+y)=16$. Stąd $x-y=2$, czyli $x=5$, $y=3$, i $R^2=34$.

Spodek wysokości leży we wspólnym wierzchołku dwóch ścian prostopadłych do podstawy. Niech boki prostokąta będą $a,b$, a wysokość $H$. Dla dwóch pozostałych ścian $\tan\alpha=H/b$ i $\tan\beta=H/a$ (zamiana oznaczeń nie zmienia iloczynu). Ponieważ $ab=S$, mamy $H^2=S\tan\alpha\tan\beta$.

Ustawmy $A=(-1,0,0)$, $B=(1,0,0)$ oraz $C=(0,2\sqrt2,0)$; wtedy $AB=2$ i $AC=BC=3$. Z $SA=SB=3$ wynika, że $S=(0,y,z)$ i $y^2+z^2=8$. Warunek $SC=2$ daje $16-4\sqrt2y=4$, więc $y=3/\sqrt2$, $z=\sqrt{14}/2$. Pole podstawy $ABC$ wynosi $2\sqrt2$.

Niech bok podstawy wynosi $a$, wysokość ściany bocznej $m$, a krawędź boczna $l$. Z warunku $\frac12am=4\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2$ mamy $m=2\sqrt3a$, więc $l^2=m^2+a^2/4=49a^2/4$. Dla dwóch sąsiednich ścian iloczyn skalarny ich wektorów normalnych prowadzi do wzoru

Przekątna $d$ prostopadłościanu $P_1$ ma rzut na podstawę długości $4\sqrt2$.

a) $\tan60^\circ=h/(4\sqrt2)$, więc $h=4\sqrt6$ i $V_1=64\sqrt6$.

b) Składowa przekątnej prostopadła do wskazanej ściany bocznej ma długość $4$, zatem $\sin30^\circ=4/d$, czyli $d=8$. Stąd $h^2=d^2-2\cdot4^2=32$, więc $V_1=64\sqrt2$. W konwencji zadania skala pierwszego prostopadłościanu do drugiego spełnia $k^3=V_1/V_2$.

Niech $r$ będzie promieniem podstawy, a $l$ tworzącą. Bok kwadratu wpisanego w podstawę ma długość $r\sqrt2$. W danym przekroju jest on podstawą trójkąta równoramiennego o ramionach $l$ i kącie wierzchołkowym $\alpha$, więc $r\sqrt2=2l\sin(\alpha/2)$. Jeżeli $\theta$ jest kątem rozwarcia stożka, to $\sin(\theta/2)=r/l$. Zatem $\cos\theta=1-2(r/l)^2=1-4\sin^2(\alpha/2)$.

Niech $M,N$ będą środkami dwóch krawędzi podstawy wychodzących z jednego wierzchołka. Przekrój $SMN$ ma $MN=a/2$ oraz $SM=SN=a\sqrt3/2$. Jego wysokość wynosi $a\sqrt{11}/4$, więc pole $a^2\sqrt{11}/16$. Rzut wierzchołka $S$ na podstawę to jej środek $O$. Odległość $O$ od $MN$ wynosi $a\sqrt3/12$, zatem dla kąta $\varphi$ między płaszczyznami $\cos\varphi=(a\sqrt3/12)/(a\sqrt{11}/4)$.

Niech bok podstawy będzie $a=\sqrt S$, a $H=\frac a2\tan\alpha$. Współrzędne można dobrać tak, aby wektory dwóch boków trójkątnego przekroju wychodzących z wierzchołka podstawy były $(a/2,a/2,H)$ i $(a/2,a,0)$. Moduł ich iloczynu wektorowego wynosi $\frac{a^2}{4}\sqrt{1+5\tan^2\alpha}$, a pole jest jego połową.

Niech bok podstawy będzie równy $a$. W połowie ściany bocznej $\sin\alpha=(a/2)/l$, a jej wysokość wynosi $(a/2)\cot\alpha$. Zatem wysokość ostrosłupa spełnia

Odcinek łączący środki sąsiednich krawędzi podstawy jest linią przecięcia płaszczyzn, a odległość środka podstawy od niego wynosi $a/(2\sqrt2)$. Dla szukanego kąta $\varphi$ otrzymujemy