MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 279

Niech wysokość graniastosłupa będzie równa $h$. Dla przekątnej ściany bocznej jej składowa prostopadła do sąsiedniej ściany bocznej ma długość $\frac{\sqrt3}{2}a$. Z definicji kąta prostej z płaszczyzną

Stąd $h=\frac{a\sqrt{3-4\sin^2\alpha}}{2\sin\alpha}$. Mnożymy tę wysokość przez pole równobocznej podstawy $\frac{\sqrt3}{4}a^2$.

Niech bok rombu będzie równy $a$. Pole podstawy to $\frac{\sqrt3}{2}a^2$, dłuższa przekątna i zarazem wysokość graniastosłupa ma długość $a\sqrt3$. Z $V=12$ mamy $\frac32a^3=12$, więc $a=2$. Przekątne sąsiednich ścian mają długość $\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Ich iloczyny skalarne (dla dwóch możliwych zwrotów składowej pionowej) mają wartości bezwzględne $\frac72a^2$ i $\frac52a^2$.

Ze skanu odczytujemy dwa prostokątne przekroje. Niech bok kwadratowej podstawy będzie równy $a$, a wysokość $h$. Przekrój przechodzący przez środki $P,Q$ ma boki $a$ i $\sqrt{a^2+h^2/4}$, natomiast drugi ma boki $a$ i $\sqrt{a^2+h^2}$. Z danych

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu równań otrzymujemy $\frac34a^2h^2=432$, czyli $a^2h^2=576$. Pierwsze równanie daje $a^4+144=400$, stąd $a=4$, $h=6$.

Trzy boki trójkątnego przekroju są przekątnymi trzech ścian prostopadłościanu. Mają więc długości $\sqrt{6^2+8^2}=10$, $\sqrt{8^2+15^2}=17$ oraz $\sqrt{6^2+15^2}=3\sqrt{29}$.

Niech wysokość ostrosłupa będzie równa $H$, a $M$ będzie jej środkiem. Odległość $M$ od krawędzi bocznej łączącej $(0,0,H)$ z wierzchołkiem $(2,2,0)$ wynosi

Przyrównując ją do $1$, dostajemy $H=2\sqrt2$. Pole podstawy wynosi $16$.

Przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym o ramionach $6$ i kącie między nimi $30^\circ$. Jego pole wynosi $\frac12\cdot6^2\sin30^\circ=9$. Przekątna podstawy ma długość $12\sin15^\circ=3(\sqrt6-\sqrt2)$, więc bok kwadratu $a=3(\sqrt3-1)$. Wysokość ostrosłupa to $6\cos15^\circ=\frac32(\sqrt6+\sqrt2)$.

Oś obrotu zawiera ramię długości $2a$. Rzut prostopadły trzeciego wierzchołka na tę oś leży w odległości $x=\frac{(2a)^2+a^2-(2a)^2}{2\cdot2a}=a/4$ od końca boku $a$. Promień wspólnej podstawy dwóch stożków wynosi $r=\sqrt{a^2-(a/4)^2}=a\sqrt{15}/4$, a suma ich wysokości to $2a$.

Łuk półkola o promieniu (tworzącej) $10$ ma długość $10\pi$, równą obwodowi podstawy stożka. Stąd promień podstawy $r=5$. Cięciwa odpowiadająca kątowi środkowemu $120^\circ$ ma długość $AB=2r\sin60^\circ=5\sqrt3$. W trójkącie $ASB$ mamy $SA=SB=10$, więc z twierdzenia cosinusów $\cos\angle ASB=\frac{10^2+10^2-(5\sqrt3)^2}{2\cdot10^2}$.