MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 277

Pole boczne graniastosłupa prostego to obwód podstawy razy $10$, a do niego dodajemy dwa pola podstaw. Dla promienia okręgu opisanego $R=6$ boki podstaw mają kolejno: $6\sqrt3$, $6\sqrt2$, $6$.

a) $P_p=27\sqrt3$, $P_c=18\sqrt3\cdot10+2P_p$.

b) $P_p=72$, $P_c=24\sqrt2\cdot10+2P_p$.

c) $P_p=54\sqrt3$, $P_c=36\cdot10+2P_p$.

Wysokość ostrosłupa, krawędź boczna $6$ i promień okręgu opisanego na podstawie tworzą trójkąt prostokątny. Dla boku podstawy $4$ promienie wynoszą kolejno $4/\sqrt3$, $2\sqrt2$, $4$. Zatem $H=\sqrt{36-R^2}$.

Ściana $ABS$ jest trójkątem równoramiennym o bokach $5,5,6$, więc jej wysokość ma długość $4$. Ponieważ ta ściana jest prostopadła do podstawy, jest to zarazem wysokość ostrosłupa. Pole $ABS$ wynosi $12$; ściany przy $AD$ i $BC$ mają wysokość $5$, więc każde pole wynosi $15$; wysokość ściany nad przeciwległą krawędzią $CD$ to $\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$, więc jej pole wynosi $6\sqrt{13}$. Siatka składa się z kwadratu $6\times6$ i tych czterech trójkątów dołączonych do jego boków.

Promień okręgu opisanego na równobocznej podstawie wynosi $2\sqrt3$. Z trójkąta utworzonego przez wysokość, ten promień i krawędź boczną $4$ otrzymujemy $H=2$. Zatem sinus kąta krawędzi bocznej z podstawą wynosi $2/4=1/2$. Pole podstawy to $9\sqrt3$.

W przekroju przez wysokość i środek boku podstawy mamy $\tan30^\circ=H/r$, gdzie $H=\sqrt3$, a $r$ jest promieniem wpisanym w podstawę. Stąd $r=3$, więc bok podstawy $a=6\sqrt3$ i $P_p=27\sqrt3$. Wysokość ściany bocznej wynosi $H/\sin30^\circ=2\sqrt3$.