MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 275

Niech wysokość trapezu będzie równa $h$, a podstawy $a>b$. Różnica podstaw jest sumą rzutów ramion: $a-b=h(\cot60^\circ+\cot45^\circ)=h(1+1/\sqrt3)$. Ponieważ $a^2-b^2=30$,

Niech wektory boków będą równe $\vec u,\vec v$, przy czym $|\vec u|=a$, $|\vec v|=b$ i kąt ostry ma $30^\circ$. Warunek $(\vec u-\vec v)\perp\vec v$ daje $ab\cos30^\circ=b^2$, czyli $b=a\cos30^\circ$. Zatem $d^2=|\vec u-\vec v|^2=a^2-b^2=a^2/4$, więc $a=2d$. Dla drugiej przekątnej $AC^2=a^2+b^2+2ab\cos30^\circ=13d^2$.

Niech kąty naprzeciw boków $a,b,c$ będą równe $A,B,C$, przy czym $C=2A$. Z twierdzenia sinusów $c/a=\sin2A/\sin A=2\cos A$. Ponadto $B=180^\circ-3A$, więc

Po przekształceniu $c^2=a(a+b)$.

Niech rzuty poziome ramion długości $2$ i $4$ będą równe $x,y$. Mamy $x+y=9-6=3$ oraz $4-x^2=16-y^2$. Stąd $x=-\frac12$, $y=\frac72$ (krótsze ramię jest odchylone na zewnątrz). Cosinusy kątów przy dłuższej podstawie wynoszą więc $-\frac14$ i $\frac78$, a przy krótszej podstawie mają przeciwne znaki.

Przyjmijmy wektory położeń $A=0$, $B=\vec b$, $C=\vec c$. Z symetrii środkowych mamy $A'=-\vec c$, $B'=2\vec b$, $C'=2\vec c-\vec b$. Zatem

Pola są połowami wartości bezwzględnych tych wyznaczników, więc ich stosunek wynosi $7$.

Z twierdzenia o dwusiecznej przyprostokątne są w stosunku $2:3$. Wysokość z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki proporcjonalne do kwadratów przyprostokątnych.

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą $\angle PBC=\angle PCA$, a kąt przy $P$ jest wspólny, więc $\triangle PCA\sim\triangle PBC$. Stąd twierdzenie o stycznej i siecznej: $PC^2=PA\cdot PB$. Jeżeli $PA=x$, to $PB=x+10$, zatem $x(x+10)=144$. Dodatnim rozwiązaniem jest $x=8$.

Kąty $APC$ i $BPD$ są wierzchołkowe, a kąty $CAP$ i $BDP$ są wpisane oparte na tym samym łuku, więc $\triangle ACP\sim\triangle BDP$. Stąd $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ i $PD=10$. Zatem cięciwa $CD$ ma długość $11$. Kąt wpisany $CBD=150^\circ$ odpowiada większemu łukowi $300^\circ$, czyli mniejszy kąt środkowy oparty na $CD$ ma $60^\circ$. Cięciwa oparta na kącie $60^\circ$ ma długość równą promieniowi.