MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 21

Z pięciu dostępnych cyfr wybieramy kolejno różne cyfry.

Dla liczb trzycyfrowych otrzymujemy $5\cdot4\cdot3=60$ możliwości, a dla czterocyfrowych $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.

a) Prefiks $71$ zajmuje dwie pozycje. Z siedmiu pozostałych cyfr niezerowych wybieramy i ustawiamy pięć:

$7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520.$

b) Prefiks $701$ zajmuje trzy pozycje. Z siedmiu nieużytych cyfr wybieramy i ustawiamy cztery:

$7\cdot6\cdot5\cdot4=840.$

Osoby są rozróżnialne, a piętra nie mogą się powtarzać.

a) Liczba przypisań czterech osób do różnych spośród dziesięciu pięter to

$10\cdot9\cdot8\cdot7=5040.$

b) Dostępnych jest tylko siedem pierwszych pięter, więc liczba przypisań wynosi

$7\cdot6\cdot5\cdot4=840.$

Rozdzielamy przypadki według cyfry jedności.

Jeżeli cyfrą jedności jest $0$, to cyfrę tysięcy wybieramy na $6$ sposobów, a dwie środkowe cyfry na $5\cdot4$ sposobów. Daje to $120$ liczb.

Jeżeli cyfrą jedności jest $2$ albo $4$, mamy $2$ wybory tej cyfry. Cyfrę tysięcy wybieramy spośród $5$ pozostałych cyfr niezerowych, a środkowe cyfry na $5\cdot4$ sposobów. Daje to $2\cdot5\cdot5\cdot4=200$ liczb.

Łącznie jest $120+200=320$ liczb.

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc wybieramy ją spośród $2$, $4$, $6$, $8$ na $4$ sposoby. Pozostałe cztery pozycje zajmują różne cyfry wybrane z pięciu cyfr nieparzystych, co można zrobić na

$5\cdot4\cdot3\cdot2=120$

sposobów. Łącznie otrzymujemy $4\cdot120=480$ liczb.

a) Używamy wszystkich sześciu cyfr. Cyfrę jedności wybieramy spośród $2$, $4$, $6$, a pozostałe cyfry ustawiamy dowolnie:

$3\cdot5!=360.$

b) Jeżeli cyfrą jedności jest $0$, pierwszych pięć pozycji obsadzamy różnymi cyframi wybranymi z sześciu niezerowych: $V_6^5=720$.

Jeżeli cyfrą jedności jest $2$, cyfrę setek tysięcy wybieramy spośród pięciu cyfr nieparzystych, a cztery środkowe pozycje obsadzamy z pięciu pozostałych cyfr: $5\cdot V_5^4=600$.

Łącznie jest $720+600=1320$ liczb.

Wszystkich liczb jest

$V_9^7=\frac{9!}{2!}=181\,440.$

Aby parzystość cyfr się zmieniała, możliwe są dwa układy pozycji: $NPNPNPN$ albo $PNPNPNP$, gdzie $N$ oznacza cyfrę nieparzystą, a $P$ parzystą. W zbiorze $\{1,\ldots,9\}$ jest pięć cyfr nieparzystych i cztery parzyste. Liczba ustawień wynosi więc

=120\cdot24+60\cdot24=4320.$$

Dwie ostatnie cyfry liczby podzielnej przez $25$ mogą tworzyć $00$, $25$, $50$ albo $75$. Para $00$ odpada z powodu powtórzenia cyfry.

Dla zakończeń $25$ i $75$ wśród ośmiu pozostałych cyfr jest zero. Pierwsze pięć pozycji można obsadzić na

$V_8^5-V_7^4=6720-840=5880$

sposobów dla każdego zakończenia. Dla zakończenia $50$ pozostałe osiem cyfr jest niezerowych, więc mamy $V_8^5=6720$ możliwości. Łącznie:

$2\cdot5880+6720=18\,480.$

Korzystamy ze wzoru $V_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$:

a) $V_7^3=7\cdot6\cdot5=210$.

b) $V_7^6=7!=5040$.

c) $V_8^2=8\cdot7=56$.

d) $V_8^4=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680$.

e) $V_n^1=n$.

f) $V_n^n=n!$.

a) Liczba $(n-1)$-elementowych wariacji bez powtórzeń wynosi

$V_n^{n-1}=\frac{n!}{(n-(n-1))!}=\frac{n!}{1!}=n!.$

Jest to dokładnie liczba permutacji zbioru $n$-elementowego.

b) Liczba wariacji dwuelementowych wynosi

$V_n^2=n(n-1).$

Liczby $n$ i $n-1$ są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich jest parzysta. Ich iloczyn, a zatem liczba wariacji, jest parzysty.