MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 205

Równanie jest równoważne warunkowi $f(x)+f(-x)=3$.

a) Ze skanu

$f(x)=\begin{cases}1,&x\le-2,\\x+3,&-2\le x\le1,\\-x+5,&1\le x\le3,\\2,&x\ge3.\end{cases}$

Dla $|x|<3$ suma $f(x)+f(-x)$ nie jest równa $3$, natomiast dla $x\ge3$ mamy $f(x)=2$, $f(-x)=1$, a przez symetrię to samo zachodzi dla $x\le-3$. Stąd

$x\in(-\infty,-3]\cup[3,\infty).$

b) Odczytane fragmenty wykresu to odcinek od $(-2,3)$ do otwartego $(-1,1)$, odcinek poziomy od domkniętego $(-1,2)$ do otwartego $(1,2)$ oraz odcinek od $(1,-2)$ do $(5,2)$. Wspólna dziedzina funkcji $f(x)$ i $f(-x)$ to $[-2,2]$. Sprawdzenie fragmentów i punktów skokowych daje zawsze sumę różną od $3$, więc równanie nie ma rozwiązań.

Podstawiamy odpowiedni argument do wzoru $f$.

a) Dla $f(x)=2x-2$:

$g(x)=2x-4,\qquad h(x)=7-2x,\qquad k(x)=-2x.$

b) Dla $f(x)=|x|$:

$g(x)=|x+1|-4,\qquad h(x)=1-|x-2|,$

$k(x)=|2-x|-2=|x-2|-2.$

c) Dla $f(x)=-|2x|=-2|x|$:

$g(x)=-2|x+1|-4,\qquad h(x)=1+2|x-2|,$

$k(x)=-2|x-2|-2.$

Wierzchołki i nachylenia wynikające z tych postaci wystarczają do wykonania szkiców.

Dla obu wykresów stosujemy te same jednoznaczne przekształcenia punktów. Jeśli $(u,v)$ jest punktem źródłowego wykresu $f$, to:

$g(x)=|f(x)|:\qquad (u,v)\longmapsto(u,|v|),$

czyli części leżące pod osią $OX$ odbijamy ku górze.

Dla $h(x)=|f(2-x)-1|$ najpierw odbijamy wykres względem prostej $x=1$, następnie przesuwamy go o jednostkę w dół, a ujemne rzędne odbijamy względem $OX$:

$(u,v)\longmapsto(2-u,|v-1|).$

Dla $k(x)=|2-f(x)|$ każdą rzędną zastępujemy jej odległością od liczby $2$:

$(u,v)\longmapsto(u,|2-v|).$

Zastosowanie tych map do wszystkich wierzchołków i odcinków na skanach a) i b) daje żądane trzy szkice w każdym podpunkcie.

a) Punkty zmiany wzoru to $-1,0,1$:

$f(x)=\begin{cases}-x-3,&x\le-1,\\x-1,&-1\le x\le0,\\-x-1,&0\le x\le1,\\x-3,&x\ge1.\end{cases}$

Funkcja maleje na $(-\infty,-1]$ i $[0,1]$, a rośnie na $[-1,0]$ i $[1,\infty)$.

b) Punkty zmiany wzoru to $-1,1,3$:

$f(x)=\begin{cases}-x-1,&x\le-1,\\x+1,&-1\le x\le1,\\3-x,&1\le x\le3,\\x-3,&x\ge3.\end{cases}$

Funkcja maleje na $(-\infty,-1]$ i $[1,3]$, a rośnie na $[-1,1]$ i $[3,\infty)$.

a) Po rozpisaniu wartości bezwzględnych

$f(x)=\begin{cases}2-2x,&x\le0,\\2,&0\le x\le2,\\2x-2,&x\ge2.\end{cases}$

Zatem równanie $f(x)=m$ ma: $0$ rozwiązań dla $m<2$, nieskończenie wiele dla $m=2$ (cały odcinek $[0,2]$) oraz $2$ rozwiązania dla $m>2$.

b) Analogicznie

$f(x)=\begin{cases}-2x,&x\le-2,\\4,&-2\le x\le2,\\2x,&x\ge2.\end{cases}$

Równanie ma $0$ rozwiązań dla $m<4$, nieskończenie wiele dla $m=4$ (cały odcinek $[-2,2]$) i $2$ rozwiązania dla $m>4$.

W obu podpunktach funkcja $g(x)=f(|x|)$ powstaje przez zachowanie prawej części wykresu $f$ i jej odbicie względem osi $OY$; następnie $h=|g|$ odbija części ujemne nad oś $OX$.

a) Dla $t=|x|\ge0$ ze skanu $f(t)=t+1$ dla $0\le t\le2$ i $f(t)=3$ dla $t\ge2$. Funkcje $g$ i $h$ są tu identyczne. Każde z równań $g(x)=m$ i $h(x)=m$ ma: $0$ rozwiązań dla $m<1$ lub $m>3$, $1$ rozwiązanie dla $m=1$, $2$ dla $1<m<3$ oraz nieskończenie wiele dla $m=3$.

b) Dla $t=|x|\ge0$ odczytujemy

$f(t)=\begin{cases}t-1,&0\le t\le4,\\7-t,&t\ge4.\end{cases}$

Dla równania $g(x)=m$ liczba rozwiązań wynosi: $0$ dla $m>3$; $2$ dla $m=3$ lub $m<-1$; $3$ dla $m=-1$; $4$ dla $-1<m<3$.

Dla $h(x)=m$ liczba rozwiązań wynosi: $0$ dla $m<0$; $4$ dla $m=0$; $8$ dla $0<m<1$; $7$ dla $m=1$; $6$ dla $1<m<3$; $4$ dla $m=3$; $2$ dla $m>3$.