MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 190

Kąty o ramionach parami równoległych są równe albo dopełniają się do $180^\circ$. W trójkątach wybieramy odpowiadające sobie kąty wewnętrzne; na przykład z $AB\parallel DE$ i $AC\parallel DF$ wynika $\angle BAC=\angle EDF$, a z $AB\parallel DE$ i $BC\parallel EF$ — $\angle ABC=\angle DEF$.

Dwie pary odpowiednich kątów są równe, więc

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

na mocy cechy KK.

Z zaznaczeń na rysunku kąty zewnętrzne przy $A$ i $C$ mają tę samą miarę $\gamma$, więc odpowiadające im kąty wewnętrzne trójkątów $ABE$ i $CBD$ są równe. Ponadto założenie można zapisać jako

$$\frac{AE}{CD}=\frac{AB}{CB}.$$

Trójkąty $ABE$ i $CBD$ są zatem podobne na mocy cechy BKB. Stosunek ich obwodów jest równy skali podobieństwa, czyli stosunkowi dowolnej pary odpowiednich boków. W szczególności

$$\frac{Ob_{ABE}}{Ob_{CBD}}=\frac{BE}{BD}.$$

Oznaczmy boki pierwszego trójkąta przez $a,b,c$, odpowiadające wysokości przez $h_a,h_b,h_c$, a wielkości drugiego trójkąta opatrzmy indeksem $1$. Z założenia

$$\frac{h_a}{h_{a1}}=\frac{h_b}{h_{b1}}=\frac{h_c}{h_{c1}}.$$

W każdym trójkącie wysokości są odwrotnie proporcjonalne do boków, więc

$$\frac ab=\frac{h_b}{h_a} =\frac{h_{b1}}{h_{a1}}=\frac{a_1}{b_1}.$$

Analogicznie $\frac ac=\frac{a_1}{c_1}$. Stąd

$$\frac a{a_1}=\frac b{b_1}=\frac c{c_1}.$$

Wszystkie pary odpowiednich boków są proporcjonalne, więc trójkąty są podobne na mocy cechy BBB.

Wysokość $h$ dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty podobne do trójkąta wyjściowego.

a) Porównując pole obliczone z przyprostokątnych i z przeciwprostokątnej,

$$\frac12ab=\frac12(x+y)h,$$

stąd $h=\frac{ab}{x+y}$.

b) Z podobieństwa dwóch małych trójkątów

$$\frac hx=\frac yh,$$

więc $h^2=xy$ i $h=\sqrt{xy}$.

c) Z podobieństwa trójkąta o przeciwprostokątnej $a$ do całego trójkąta

$$\frac{x}{a}=\frac{a}{x+y},$$

czyli $a=\sqrt{x(x+y)}$.

d) Analogicznie

$$\frac{y}{b}=\frac{b}{x+y},$$

więc $b=\sqrt{y(x+y)}$.