MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 189

a) Cechy podobieństwa trójkątów:

1. KK — dwie pary odpowiednich kątów są równe;
2. BKB — dwie pary odpowiednich boków są proporcjonalne, a kąty między nimi są równe;
3. BBB — wszystkie trzy pary odpowiednich boków są proporcjonalne.

b) W trapezie $AB\parallel CD$. Stąd $\angle BAP=\angle DCP$ i $\angle ABP=\angle CDP$. Zatem

$$\triangle ABP\sim\triangle CDP$$

na mocy cechy KK.

Niech $k$ będzie skalą podobieństwa trójkąta $ABC$ do $A_1B_1C_1$.

a) Podobieństwo zachowuje miary kątów, więc dwusieczna kąta przy $A$ przechodzi na dwusieczną odpowiadającego kąta przy $A_1$. Punkt $D$ przechodzi zatem na $D_1$, a wszystkie długości są mnożone przez $k$. W szczególności

$$\frac{AD}{A_1D_1} =\frac{AB}{A_1B_1} =\frac{BC}{B_1C_1} =\frac{AC}{A_1C_1}.$$

b) Podobieństwo przekształca środek $AB$ w środek $A_1B_1$ i zachowuje kąty proste, więc symetralna $AB$ przechodzi na symetralną $A_1B_1$. Jej punkty przecięcia z bokami $P,Q$ przechodzą odpowiednio na $P_1,Q_1$. Zatem obrazem trójkąta $APQ$ jest $A_1P_1Q_1$, czyli

$$\triangle APQ\sim\triangle A_1P_1Q_1.$$

Z rysunku $\angle B=90^\circ$, $BD\perp AC$ i $DE\perp AB$.

a) Trójkąty $BDC$ i $ABC$ są podobne (mają wspólny kąt przy $C$ i kąty proste przy $D,B$). Ich skala jest równa

$$k=\frac{BC}{AC}=\sin\alpha.$$

Stosunek pól jest kwadratem skali, więc

$$\frac{P_{BDC}}{P_{ABC}}=\sin^2\alpha.$$

b) Trójkąty $AED$ i $ABC$ są podobne, bo mają wspólny kąt $\alpha$ przy $A$ i kąty proste przy $E,B$. W trójkącie prostokątnym $AB=AC\cos\alpha$, a z podobieństwa $ABD\sim ABC$ mamy $AD=AB\cos\alpha=AC\cos^2\alpha$. Skala $AED$ do $ABC$ wynosi zatem $\cos^2\alpha$, więc

$$\frac{P_{AED}}{P_{ABC}}=\cos^4\alpha.$$