MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 161

Niech $O$ będzie środkiem równobocznej podstawy, $S$ wierzchołkiem ostrosłupa, a $A$ wierzchołkiem podstawy. Mamy

$$AO=\frac a{\sqrt3}.$$

Wysokość ostrosłupa wynosi

$$H=SO=\sqrt{(2a)^2-\left(\frac a{\sqrt3}\right)^2} =\frac{a\sqrt{33}}3.$$

Środek opisanej kuli leży na osi $SO$. Oznaczmy jego odległość od płaszczyzny podstawy przez $x$. Dla promienia kuli $R$ mamy

$$R^2=x^2+\frac{a^2}{3}, \qquad R=H-x.$$

Po podstawieniu drugiej równości do pierwszej:

$$(H-x)^2=x^2+\frac{a^2}{3},$$ $$H^2-2Hx=\frac{a^2}{3}.$$

Stąd

$$R=H-x=\frac{H^2+a^2/3}{2H} =\frac{2a\sqrt{33}}{11}.$$

Objętość kuli jest równa

$$V=\frac43\pi R^3 =\frac43\pi\left(\frac{2a\sqrt{33}}{11}\right)^3 =\frac{32\sqrt{33}}{121}\pi a^3.$$

Niech $h_1>h_2$ będą wysokościami stożków, a $r$ promieniem ich wspólnej podstawy. Wierzchołki stożków są przeciwległymi końcami średnicy kuli, więc

$$h_1+h_2=2R.$$

Dla każdej z dwóch części przekroju osiowego zachodzi

$$r^2=h_i(2R-h_i).$$

Ponieważ $2R-h_1=h_2$ i $2R-h_2=h_1$, mamy także $r^2=h_1h_2$. Jeśli $l_i$ oznacza tworzącą odpowiedniego stożka, to

$$l_i^2=h_i^2+r^2 =h_i(h_1+h_2) =2Rh_i.$$

Pola boczne mają wspólny czynnik $\pi r$. Z warunku $P_{b1}=2P_{b2}$ wynika $l_1=2l_2$, a więc

$$\frac{h_1}{h_2}=\frac{l_1^2}{l_2^2}=4.$$

Łącząc $h_1=4h_2$ z $h_1+h_2=2R$, otrzymujemy

$$h_2=\frac{2R}{5}, \qquad h_1=\frac{8R}{5}.$$