MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 160

a) Pole kwadratowej podstawy jest równe $32\ \text{cm}^2$, zatem jej krawędź i przekątna mają długości

$$a=\sqrt{32}=4\sqrt2\ \text{cm}, \qquad d_p=a\sqrt2=8\ \text{cm}.$$

Przekątna graniastosłupa jest średnicą opisanej kuli:

$$2R=\sqrt{d_p^2+10^2} =\sqrt{8^2+10^2} =2\sqrt{41}.$$

Stąd $R=\sqrt{41}\ \text{cm}$ i

$$V=\frac43\pi R^3 =\frac43\pi(\sqrt{41})^3 =\frac{164\sqrt{41}}3\pi\ \text{cm}^3.$$

b) Z pola powierzchni kuli:

$$4\pi R^2=12\pi, \qquad R=\sqrt3\ \text{cm}.$$

Przekątna sześcianu jest średnicą kuli. Jeśli $a$ jest krawędzią sześcianu, to

$$a\sqrt3=2R=2\sqrt3, \qquad a=2\ \text{cm}.$$

Zatem

$$V_s=a^3=8\ \text{cm}^3.$$

Niech $O$ będzie środkiem kwadratowej podstawy, $S$ wierzchołkiem ostrosłupa, a $A$ wierzchołkiem podstawy. Oznaczmy $AO=x$. Krawędź $SA$ tworzy z podstawą kąt $45^\circ$, więc w trójkącie prostokątnym $SAO$

$$SO=AO=x.$$

Przekrój przez $S$ i przekątną $AC$ podstawy ma boki

$$AC=2x, \qquad SA=SC=x\sqrt2.$$

Ponieważ $SA^2+SC^2=AC^2$, trójkąt $ASC$ jest prostokątny w $S$. Jego okrąg opisany jest przekrojem kuli, zatem promień tego okręgu jest połową przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{AC}{2}=x.$$

Dla $R=6\ \text{cm}$ mamy $x=SO=6\ \text{cm}$. Krawędź podstawy spełnia $a\sqrt2=AC=12$, więc $a=6\sqrt2\ \text{cm}$. Objętość ostrosłupa:

$$V=\frac13a^2SO =\frac13(6\sqrt2)^2\cdot6 =144\ \text{cm}^3.$$