MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 142

Z pola podstawy mamy

$$\pi r^2=50\pi,$$

więc $r=5\sqrt2$ cm. W połówce przekroju osiowego tworząca jest przeciwprostokątną, zatem

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l} =\frac{5\sqrt2}{10}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Stąd $\frac{\alpha}{2}=45^\circ$, czyli $\alpha=90^\circ$.

a) W przekroju osiowym $h=l\sin\beta=15\cdot0{,}6=9$ cm, a $r=l\cos\beta=15\cdot0{,}8=12$ cm. Zatem

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot12^2\cdot9=432\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

b) Ponieważ $\operatorname{tg}\beta=\frac{h}{r}=\frac{12}{5}$ i $l=13$ cm, odpowiedni trójkąt prostokątny ma boki $5$, $12$, $13$. Stąd $r=5$ cm, $h=12$ cm i

$$V=\frac13\pi\cdot5^2\cdot12=100\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

a) Jeśli $a$ jest bokiem równobocznego przekroju osiowego, to

$$\frac{a^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3,$$

więc $a=8$ cm. Promień podstawy wynosi $r=4$ cm, a wysokość $h=4\sqrt3$ cm. Zatem

$$V=\frac13\pi\cdot4^2\cdot4\sqrt3 =\frac{64\sqrt3}{3}\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

b) Z $\pi r^2=27\pi$ otrzymujemy $r=3\sqrt3$ cm. Równość $27\pi=\frac13\cdot27\pi\cdot h$ daje $h=3$ cm. Dlatego

$$\operatorname{tg}\beta=\frac{h}{r}=\frac1{\sqrt3},$$

czyli $\beta=30^\circ$.