MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 141

Po rozwinięciu powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu $l$. Długość łuku tego wycinka jest równa obwodowi podstawy stożka, czyli $2\pi r$.

Pole wycinka można obliczyć jako połowę iloczynu jego promienia i długości łuku:

$P_b=\frac12\cdot l\cdot2\pi r=\pi rl.$

W ten sposób uzyskaliśmy wzór na pole powierzchni bocznej stożka.

Tworząca stożka jest promieniem wycinka, więc $l=6$. Długość łuku wycinka o kącie $120^\circ$ wynosi

$\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=4\pi.$

Po zwinięciu jest to obwód podstawy:

$2\pi r=4\pi,$

stąd $r=2$. Pole podstawy wynosi

$P_p=\pi r^2=4\pi,$

a pole powierzchni bocznej

$P_b=\pi rl=12\pi.$

Zatem $P_c=P_p+P_b=16\pi$.

Z pola podstawy

$\pi r^2=36\pi$

otrzymujemy $r=6\ \mathrm{cm}$. Łuk wycinka będącego powierzchnią boczną ma po zwinięciu długość obwodu podstawy, czyli $12\pi$. Dla promienia wycinka $l=9\ \mathrm{cm}$ zachodzi

$\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot9=12\pi.$

Stąd

$\alpha=240^\circ.$