MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 139

Dla przekątnej $d$ tworzącej z podstawą kąt $\alpha$ w przekroju osiowym zachodzi

$2r=d\cos\alpha,\qquad h=d\sin\alpha.$

Następnie stosujemy $P_c=2\pi r(r+h)$ i $V=\pi r^2h$.

a) $r=\frac{3\sqrt3}{2}$, $h=3$, więc

$P_c=9\pi\left(\frac32+\sqrt3\right),\qquad V=\frac{81\pi}{4}.$

b) $r=2$, $h=4\sqrt3$, więc

$P_c=8\pi(1+2\sqrt3),\qquad V=16\sqrt3\pi.$

c) $r=3\sqrt2$, $h=6\sqrt2$, więc

$P_c=108\pi,\qquad V=108\sqrt2\pi.$

W przekroju osiowym $2r=20\cos\alpha$ oraz $h=20\sin\alpha$. Korzystamy ze wzoru $P_c=2\pi r(r+h)$.

a) Dla $\cos\alpha=0{,}8$ mamy $\sin\alpha=0{,}6$, więc $r=8$, $h=12$ i

$P_c=320\pi\ \mathrm{cm}^2.$

b) Z $\tan\alpha=\frac45$ wynika $\cos\alpha=\frac5{\sqrt{41}}$ i $\sin\alpha=\frac4{\sqrt{41}}$. Zatem

$r=\frac{50}{\sqrt{41}},\qquad h=\frac{80}{\sqrt{41}},$

$P_c=\frac{13000\pi}{41}\ \mathrm{cm}^2.$

c) Dla $\sin\alpha=\frac15$ mamy $\cos\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}$, więc $r=4\sqrt6$, $h=4$ i

$P_c=32\pi(6+\sqrt6)\ \mathrm{cm}^2.$

Z warunku $r=h$ i pola bocznego dostajemy

$2\pi rh=2\pi r^2=392\pi.$

Stąd $r^2=196$, czyli $r=h=14$. Pole podstawy wynosi

$P_p=\pi r^2=196\pi,$

a objętość

$V=\pi r^2h=196\pi\cdot14=2744\pi.$

a) Kwadrat o polu $64\ \mathrm{cm}^2$ ma bok $8\ \mathrm{cm}$. W przekroju osiowym oznacza to $2r=h=8$, więc $r=4$. Stąd

$V=\pi r^2h=\pi\cdot4^2\cdot8=128\pi\ \mathrm{cm}^3.$

b) Prostokąt ma boki $2r$ i $h$, dlatego są dwa przypadki.

Jeśli $2r=6$ i $h=8$, to

$V=\pi\cdot3^2\cdot8=72\pi\ \mathrm{cm}^3.$

Jeśli $2r=8$ i $h=6$, to

$V=\pi\cdot4^2\cdot6=96\pi\ \mathrm{cm}^3.$

Boki przekroju osiowego to $2r$ i $h$. Ich iloczyn jest równy $144$, a stosunek wynosi $9:4$. Zapiszmy więc boki jako $9k$ i $4k$. Wtedy

$36k^2=144,$

czyli $k=2$.

Pierwszy przypadek: $2r=8$, $h=18$. Wówczas

$V=\pi\cdot4^2\cdot18=288\pi\ \mathrm{cm}^3,$

$P_c=2\pi\cdot4(4+18)=176\pi\ \mathrm{cm}^2.$

Drugi przypadek: $2r=18$, $h=8$. Wówczas

$V=\pi\cdot9^2\cdot8=648\pi\ \mathrm{cm}^3,$

$P_c=2\pi\cdot9(9+8)=306\pi\ \mathrm{cm}^2.$

a) Średnica ma $8\ \mathrm{cm}$, więc $r=4\ \mathrm{cm}$. Warunek $P_b=4P_p$ daje

$2\pi rh=4\pi r^2,$

stąd $h=2r=8\ \mathrm{cm}$. Zatem

$V=\pi r^2h=128\pi\ \mathrm{cm}^3.$

b) W przekroju osiowym

$2r=15\cos\alpha=15\cdot0{,}6=9,$

więc $r=\frac92\ \mathrm{cm}$. Ponieważ $\sin\alpha=0{,}8$, wysokość wynosi

$h=15\sin\alpha=12\ \mathrm{cm}.$

Stąd

$V=\pi\left(\frac92\right)^2\cdot12=243\pi\ \mathrm{cm}^3.$

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o bokach $2\pi r$ i $h$, więc

$P_b=2\pi rh.$

Przekrój osiowy jest prostokątem o bokach $2r$ i $h$, zatem

$P_o=2rh.$

Dla $r,h>0$ otrzymujemy

$\frac{P_b}{P_o}=\frac{2\pi rh}{2rh}=\pi,$

co należało wykazać.

Po obrocie wokół krótszego boku $a$ walec ma wysokość $a$ i promień $b$, więc

$V_1=\pi b^2a.$

Po obrocie wokół dłuższego boku $b$ walec ma wysokość $b$ i promień $a$, więc

$V_2=\pi a^2b.$

Różnica objętości jest równa

$V_1-V_2=\pi ab(b-a).$

Ponieważ $a>0$, $b>0$ oraz $b-a>0$, mamy $V_1-V_2>0$. Zatem obrót wokół krótszego boku daje większą objętość.