MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 138

a) Każda podstawa walca jest kołem o polu $\pi r^2$, więc obie podstawy mają łącznie pole $2\pi r^2$. Po rozwinięciu powierzchnia boczna jest prostokątem o bokach $2\pi r$ i $h$, zatem ma pole $2\pi rh$. Stąd

$P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h).$

b) Dla $h=10\ \mathrm{cm}$ równanie $P_c=40\pi\ \mathrm{cm}^2$ ma postać

$2\pi r(r+10)=40\pi,$

czyli

$r^2+10r-20=0.$

Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $r=3\sqrt5-5$. Pole podstawy wynosi więc

=\pi(70-30\sqrt5)=10\pi(7-3\sqrt5)\ \mathrm{cm}^2.$$

Przekrój osiowy jest prostokątem o bokach $2r$ i $h$. Z danych

$2rh=40,\qquad r=4$

otrzymujemy $8h=40$, więc $h=5\ \mathrm{cm}$. Pole powierzchni całkowitej walca jest równe

$P_c=2\pi r(r+h)=2\pi\cdot4\cdot(4+5)=72\pi\ \mathrm{cm}^2.$

W przekroju osiowym bok równoległy do podstawy ma długość $2r$, a pionowy bok ma długość $h$. Z przekątnej $d=12\ \mathrm{cm}$ i kąta $30^\circ$ dostajemy

$h=12\sin30^\circ=6\ \mathrm{cm},$

$2r=12\cos30^\circ=6\sqrt3\ \mathrm{cm},$

czyli $r=3\sqrt3\ \mathrm{cm}$. Zatem

=2\pi\cdot3\sqrt3(3\sqrt3+6) =18\pi(3+2\sqrt3)\ \mathrm{cm}^2.$$