MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 135

Objętość sześcianu wynosi $4^3=64\ \mathrm{cm}^3$. Pole kwadratowej podstawy drugiego graniastosłupa jest równe

$\left(2\sqrt2\right)^2=8\ \mathrm{cm}^2,$

więc z równości objętości jego wysokość wynosi $H=64:8=8\ \mathrm{cm}$. Przekątna podstawy ma długość $4\ \mathrm{cm}$, zatem przekątna graniastosłupa jest równa

$d=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5\ \mathrm{cm}.$

Niech krawędź podstawy ma długość $a$. Wysokość ostrosłupa jest równa $H=2a$. W przekroju prostopadłym do boku podstawy rzut wysokości ściany bocznej na podstawę ma długość $\frac a2$. Jeśli $\beta$ jest kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy, to

$\tan\beta=\frac{H}{a/2}=\frac{2a}{a/2}=4.$

Każda ściana boczna jest prostokątnym trójkątem równoramiennym o przyprostokątnych długości $2$, więc jej pole wynosi $2\ \mathrm{cm}^2$, a przeciwprostokątna — bok podstawy — ma długość $2\sqrt2\ \mathrm{cm}$.

Pole równobocznej podstawy jest równe

$P_p=\frac{(2\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=2\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$

Suma pól trzech ścian bocznych wynosi $6\ \mathrm{cm}^2$, zatem

$P_c=6+2\sqrt3=2(3+\sqrt3)\ \mathrm{cm}^2.$

Niech $a$ oznacza bok rombu. Z przekątnej ściany bocznej otrzymujemy

$a^2+12^2=15^2,$

więc $a=9\ \mathrm{cm}$. Pole rombu o kącie ostrym $60^\circ$ wynosi

$P_p=a^2\sin60^\circ=81\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{81\sqrt3}{2}\ \mathrm{cm}^2.$

Objętość graniastosłupa jest zatem równa

$V=P_p\cdot12=486\sqrt3\ \mathrm{cm}^3.$

Niech $d$ będzie przekątną graniastosłupa. Jej rzut na daną krawędź podstawy ma długość $4$, zatem

$\cos60^\circ=\frac4d,$

czyli $d=8$. Dwie poziome składowe przekątnej mają długość $4$, więc dla wysokości $H$ zachodzi

$H^2=d^2-4^2-4^2=64-32=32.$

Stąd $H=4\sqrt2$, a objętość wynosi

$V=4^2\cdot4\sqrt2=64\sqrt2.$

Pole sześciokątnej podstawy jest równe

$P_p=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot6^2=54\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$

Ponieważ jest ono cztery razy mniejsze od pola bocznego, $P_b=216\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$. Jeśli $l$ oznacza wysokość ściany bocznej, to

$P_b=\frac12\cdot36\cdot l,$

stąd $l=12\sqrt3$. Apotema podstawy ma długość $3\sqrt3$, więc wysokość ostrosłupa wynosi

$H=\sqrt{l^2-(3\sqrt3)^2}=\sqrt{432-27}=9\sqrt5.$

Zatem

$V=\frac13P_pH=\frac13\cdot54\sqrt3\cdot9\sqrt5=162\sqrt{15}\ \mathrm{cm}^3.$

Niech $l=10\ \mathrm{cm}$ będzie wysokością ściany bocznej, $H$ — wysokością ostrosłupa, a $r$ — promieniem okręgu wpisanego w podstawę. Z kąta $45^\circ$ mamy

$H=l\sin45^\circ=5\sqrt2,\qquad r=l\cos45^\circ=5\sqrt2.$

Dla trójkąta równobocznego $P_p=3\sqrt3r^2$, zatem

$P_p=3\sqrt3\cdot50=150\sqrt3.$

Objętość jest równa

$V=\frac13P_pH=\frac13\cdot150\sqrt3\cdot5\sqrt2=250\sqrt6\ \mathrm{cm}^3.$

Podstawa jest trójkątem $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ o bokach $6$, $6\sqrt3$ i $12$. Jej środek okręgu opisanego jest środkiem przeciwprostokątnej. Odległości tego punktu od boków długości $6$, $6\sqrt3$ i $12$ wynoszą odpowiednio $3\sqrt3$, $3$ i $0$.

Wysokości odpowiednich ścian bocznych są więc równe

\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73},\quad 8.$$ Pole powierzchni bocznej wynosi $$P_b=\frac12\left(6\sqrt{91}+6\sqrt3\sqrt{73}+12\cdot8\right) =3\left(16+\sqrt{91}+\sqrt{219}\right)\ \mathrm{cm}^2.$$